四十五角形

四十五角形（よんじゅうごかくけい、よんじゅうごかっけい、tetracontapentagon）は、多角形の一つで、45本の辺と45個の頂点を持つ図形である。内角の和は7740°、対角線の本数は945本である。

正四十五角形

正四十五角形においては、中心角と外角は8°で、内角は172°となる。一辺の長さが a の正四十五角形の面積 S は

S = \frac{45}{4} a^{2} \cot \frac{π}{45} ≃ 160.8825 a^{2}

$\cos (2 π / 45)$ を平方根と立方根で表すと、

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{45} = & \cos (\frac{π}{9} - \frac{π}{15}) \\ = & \cos \frac{π}{9} \cos \frac{π}{15} + \sin \frac{π}{9} \sin \frac{π}{15} \\ = & \frac{\sqrt[3]{4 - 4 i \sqrt{3}} + \sqrt[3]{4 + 4 i \sqrt{3}}}{4} \cdot \frac{1}{8} (\sqrt{6 (5 + \sqrt{5})} + \sqrt{5} - 1) + \frac{i (\sqrt[3]{4 - 4 i \sqrt{3}} - \sqrt[3]{4 + 4 i \sqrt{3}})}{4} \cdot \frac{1}{8} (\sqrt{2 (5 + \sqrt{5})} + \sqrt{3} - \sqrt{15}) \\ = & \frac{1}{32} ((\sqrt[3]{4 - 4 i \sqrt{3}} + \sqrt[3]{4 + 4 i \sqrt{3}}) (\sqrt{6 (5 + \sqrt{5})} + \sqrt{5} - 1) + i (\sqrt[3]{4 - 4 i \sqrt{3}} - \sqrt[3]{4 + 4 i \sqrt{3}}) (\sqrt{2 (5 + \sqrt{5})} + \sqrt{3} - \sqrt{15})) \end{matrix}

関係式: $\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{45} + 2 \cos \frac{32 π}{45} + 2 \cos \frac{28 π}{45} = 0 \\ 2 \cos \frac{4 π}{45} + 2 \cos \frac{26 π}{45} + 2 \cos \frac{34 π}{45} = 0 \\ 2 \cos \frac{8 π}{45} + 2 \cos \frac{38 π}{45} + 2 \cos \frac{22 π}{45} = 0 \\ 2 \cos \frac{16 π}{45} + 2 \cos \frac{14 π}{45} + 2 \cos \frac{44 π}{45} = 0 \end{matrix}$

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{45} \cdot 2 \cos \frac{32 π}{45} + 2 \cos \frac{32 π}{45} \cdot 2 \cos \frac{28 π}{45} + 2 \cos \frac{28 π}{45} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{45} = - 3 \\ 2 \cos \frac{2 π}{45} \cdot 2 \cos \frac{32 π}{45} \cdot 2 \cos \frac{28 π}{45} = 2 \cos \frac{2 π}{15} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30 - 6 \sqrt{5}}}{4} \end{matrix}

解と係数の関係より

u^{3} - 3 u - 2 \cos \frac{2 π}{15} = 0

三次方程式を解いて、整理すると $\cos (2 π / 45)$ が求められる。

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{45} = & \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{15} + i \sin \frac{2 π}{15}} + \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{15} - i \sin \frac{2 π}{15}} \\ 4 \cos \frac{2 π}{45} = & \sqrt[3]{8 \cos \frac{2 π}{15} + i 8 \sin \frac{2 π}{15}} + \sqrt[3]{8 \cos \frac{2 π}{15} - i 8 \sin \frac{2 π}{15}} \\ 4 \cos \frac{2 π}{45} = & \sqrt[3]{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30 - 6 \sqrt{5}} + i (\sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30 - 6 \sqrt{5}} - i (\sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})} \\ \cos \frac{2 π}{45} = & \frac{1}{4} (\sqrt[3]{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30 - 6 \sqrt{5}} + i (\sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30 - 6 \sqrt{5}} - i (\sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})}) \end{matrix}

正四十五角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正四十五角形は折紙により作図可能である。