四極子のソースを表示

[[File:Quadrupol.svg|right|thumb|200px|四極子（横型）]]
[[File:QuadrupoleContour.svg|right|thumb|200px|電気四極子の等ポテンシャル面]]
'''四極子'''（しきょくし、{{lang-en-short|quadrupole,  quadrapole}}）または'''四重極'''とは、[[モーメント]]が等しい[[双極子]]が、2個逆向きに接近して並んでいるような[[単極子]]の分布をいう。単極子を正方形状に配置したものと、直線状に配置したものがあり、それぞれ横型、縦型と呼び分けられる。
また、有限の大きさの[[電荷分布]]が作る場を{{仮リンク|多重極展開|en|Multipole expansion}}したときにも現れる。

[[電荷]]の分布を'''電気四極子'''、[[磁荷]]の分布を'''磁気四極子'''という。[[電磁気学]]においては単に四極子といえば、電気四極子を指すことが多い。

電気四極子モーメントは2階の[[対称テンソル]]であり、以下のように定義される
<ref name="太田2007">{{cite|和書|title=電磁気学の基礎I|year=2007|author=太田浩一|publisher=[[シュプリンガー・ジャパン]]|isbn=978-4-431-72739-2|pages=71}}</ref>
<ref name="GreenBook">{{cite|title=Quantities, Units, and Symbols in Physical Chemistry|edition=3rd|year=2007|editor1=E Richard Cohen|editor2=Tom Cvitas|editor3=Jeremy G Frey|editor4=Bertil Holström|publisher=[[王立化学会|RSC]] Publishing|isbn=978-0-85404-433-7|doi=10.1039/9781847557889}}</ref>:
:<math>Q_{ij} = \int \mathrm{d}V ~ \rho(\boldsymbol{r}) r_i r_j</math>

ここで、<math>\rho(\boldsymbol{r})</math> は位置 <math>\boldsymbol{r}</math> における[[電荷密度]]で、添字 <math>i, j \in \{x, y, z\}</math> である。[[直積 (ベクトル)|直積]]を用いると
:<math>\boldsymbol{Q} = \int \mathrm{d}V ~ \rho(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{r} \otimes \boldsymbol{r}</math>

あるいは[[跡 (線型代数学)|トレース]]なしのテンソルとして以下のように定義される<ref name="GreenBook"/>:

:<math>\begin{align}
\Theta_{ij} &= \frac12 \int \mathrm{d}V ~ \rho(\boldsymbol{r}) (3 r_i r_j - \delta_{ij} r^2) = \frac12 \left[ 3Q_{ij} - \delta_{ij} (Q_{xx} + Q_{yy} + Q_{zz}) \right] \\
\boldsymbol{\Theta} &= \frac12 \int \mathrm{d}V \rho(\boldsymbol{r}) (3 \boldsymbol{r} \otimes \boldsymbol{r} - \boldsymbol{1} r^2) = \frac12 (3\boldsymbol{Q} - \boldsymbol{1} \operatorname{tr} \boldsymbol{Q})
\end{align}</math>

<math>\delta</math> は[[クロネッカーのデルタ]]である。

電気四極子モーメントによる[[電位]] <math>\phi</math> は

:<math>\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{\boldsymbol{r}^{\intercal} \boldsymbol{\Theta} \boldsymbol{r}}{r^5}</math>

で与えられる。<math>\epsilon</math> は [[誘電率]] である。

一般に四極子のポテンシャル''&phi;''は単極子のそれ''&phi;''<sub>monopole</sub> の空間についての2階微分で表される<ref>{{cite|和書 |author=吉川茂|author2=藤田肇 |title=基礎音響学 |publisher=講談社サイエンティフィク |year=2002 |isbn=4-06-153972-8 |page=187}}</ref>。

:<math>\phi \propto \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\phi_\mathrm{monopole}</math>　（横型）
:<math>\phi \propto \frac{\partial^2}{\partial x^2}\phi_\mathrm{monopole}</math>　（縦型）

また、[[音響学]]においても用いられ<ref>{{cite|和書 |author=Earl G. Williams |translator=吉川茂、西條献児 |title=フーリエ音響学 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京 |year=2005 |page=243}}</ref>、音源の一種として扱われる。

==参考文献==
{{reflist}}
* 『物理学辞典』 培風館、1984年

==関連項目==
* [[単極子]]
* [[双極子]]
* {{仮リンク|多重極展開|en|Multipole expansion}}
* [[四重極磁石]]

{{デフォルトソート:しきよくし}}
[[Category:電磁気学]]
[[Category:音響工学]]
[[Category:テンソル]]