垂足三角形のソースを表示


[[ファイル:Pedal_Triangle.svg|右|サムネイル|
{{Legend-line|solid black|元の三角形 {{math|△''ABC''}}}}
{{Legend-line|solid #0373fc|{{mvar|P}}から各辺に対する[[垂線]]}}
{{Legend-line|solid red|{{mvar|P}}の垂足三角形{{math|△''LMN''}}}}
]]
[[ユークリッド幾何学]]において、'''垂足三角形'''（すいそくさんかくけい、[[英語|英]]:Pedal triangle）とは[[三角形]]と[[点 (数学)|点]]に対して定義される三角形の一つである。

{{Math|△''ABC''}}と{{Mvar|A, B, C}}でない点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|P}}から直線{{Mvar|BC, AC, AB}}に[[垂線]]を降ろし、垂線とそれぞれの直線の交点（垂足）を{{Mvar|L, M, N}}とする。このとき{{Math|△''LMN''}} を垂足三角形と言う。

{{Math|△''ABC''}} が[[鋭角三角形]]で{{Math|△''LMN''}}の角がそれぞれ{{Math|180° − 2''A''}},{{Math|180° − 2{{mvar|B}}}},{{Math|180° − 2''C''}}ならば、{{Mvar|P}}は{{Math|△''ABC''}}の[[垂心]]である<ref>{{Cite web |title=Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world |url=https://en.wikibooks.org/wiki/Trigonometry/Circles_and_Triangles/The_Pedal_Triangle#:~:text=As%20already%20noted,%20the%20altitudes,ABC%20is%20its%20excentral%20triangle.&text=If%20ABC%20is%20not%20an,and%20its%20sides%20are%20a. |access-date=2020-10-31 |website=en.wikibooks.org}}</ref>。日本語ではこのときの{{Math|△''LMN''}}のみを垂足三角形と呼ぶ場合もある。

特別な点の垂足三角形の例を挙げる。

* [[垂心]]の垂足三角形は垂足三角形（[[頂垂線 (三角形)#垂足三角形|orthic triangle]]）である。広義の垂足三角形と区別するため'''垂心三角形'''と呼ばれることもある<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学をめぐる船旅 |date=2/15 |year=2023 |publisher=[[日本評論社]] |pages=2,15 |translator=兒玉太陽、熊谷有輝、宿田彩斗、平山楓馬 |author=[[エヴァン・チェン]]}}</ref>。
* [[内心]]の垂足三角形は[[三角形の内接円と傍接円#ジェルゴンヌ点とジェルゴンヌ三角形|ジェルゴンヌ三角形]]（接触三角形<ref name=":0" />）である。
* [[外接円|外心]]の垂足三角形は[[中点三角形]]である。
* 外接円上の点の垂足三角形は退化して[[シムソン線]]となる。
* [[等力点]]の垂足三角形は[[正三角形]]となる。

[[ファイル:Pedal_Line.svg|右|サムネイル|{{Mvar|P}}が外接円上にある場合{{Legend-line|solid black|{{math|△''ABC''}}}}{{Legend-line|solid #66cc66|{{math|△''ABC''}}の[[外接円]]}}
{{Legend-line|solid #0373fc|{{mvar|P}}から降ろされた垂線}}
{{Legend-line|solid red|シムソン線{{mvar|LMN}}}}]]
内部の{{Mvar|P}}の垂足三角形の頂点について、以下の等式が成り立つ。これは[[カルノーの定理 (垂線)]]と呼ばれる<ref>{{Cite book |title=Challenging problems in geometry |url=https://archive.org/details/challengingprobl00posa |last=Alfred S. Posamentier |author-link=Alfred S. Posamentier |last2=Charles T. Salkind |isbn=9780486134864 |location=New York |oclc=829151719 |publisher=Dover |year=1996 |pages=[https://archive.org/details/challengingprobl00posa/page/n95 85]-86}}</ref>。<math display="block">|AN|^2 + |BL|^2 + |CM|^2 = |NB|^2 + |LC|^2 + |MA|^2.</math>

== 三線座標 ==
''{{Mvar|P}}''の[[三線座標]]を{{Mvar|p: q : r}}とし、''P''の垂足三角形の頂点''{{Mvar|P}}''の座標は以下の様に与えられる。<math display="block">\begin{array}{ccccccc}
  L &=& 0 &:& q+p\cos C &:& r+p\cos B \\[2pt]
  M &=& p+q\cos C &:& 0 &:& r+q\cos A \\[2pt]
  N &=& p+r\cos B &:& q+r\cos A &:& 0
\end{array}</math>

== 反垂足三角形 ==
点 {{Mvar|L'}}を、{{Mvar|B}}を通る{{Mvar|BP}}の垂線と{{Mvar|C}}を通る{{Mvar|CP}}の垂線の交点とする。点{{Mvar|M'}},{{Mvar|N'}}も同様に定義する。 {{Math|△''L'M'N'''}}を{{Mvar|P}}の'''反垂足三角形'''（Antipedal triangle）または逆垂足三角形と言い<ref name=":1">{{Cite book|和書 |edition=訂正第二版 |title=英和数学新字典 |url= |publisher=岡崎屋書店 |date=1905 |language=ja |first=藤吉 |last=宮本 |page= |doi=10.11501/826188 |pages=19,213}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版 |year=1919 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂出版部]] |page=548 |doi=10.11501/1082035}}</ref>、それら点の三線座標は以下の様に与えられる。<math display="block">\begin{array}{ccrcrcr}
  L' &=& -(q+p\cos C)(r+p\cos B) &:& (r+p\cos B)(p+q\cos C) &:& (q+p\cos C)(p+r\cos B) \\[2pt]
  M' &=& (r+q\cos A)(q+p\cos C) &:& -(r+q\cos A)(p+q\cos C) &:& (p+q\cos C)(q+r\cos A) \\[2pt]
  N' &=& (q+r\cos A)(r+p\cos B) &:& (p+r\cos B)(r+q\cos A) &:& -(p+r\cos B)(q+r\cos A)
\end{array}</math>特別な点に対する反垂足三角形の例を挙げる<ref>{{Cite web |title=Antipedal Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/AntipedalTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。 

* 内心の反垂足三角形は[[三角形の内接円と傍接円|傍心三角形]]である。
* 外心の反垂足三角形は[[外接三角形]]である。
* 垂心の反垂足三角形は[[中点三角形#逆補三角形|反中点三角形]]である。

''{{Mvar|P}}''を直線''{{Mvar|BC,CA,AB}}''上にない点、{{Math|''P''<sup> −1</sup>}}を''{{Mvar|P}}''の[[等角共役]]点とする。 ''{{Mvar|P}}''の垂足三角形と{{Math|''P''<sup> −1</sup>}}の反垂足三角形は相似の位置にある。相似の中心の三線座標は以下の様に与えられる 。 <math display="block">ap(p+q\cos C)(p+r\cos B) \ :\ bq(q+r\cos A)(q+p\cos C) \ :\ cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)</math>''{{Mvar|P}}''の垂足三角形と{{Math|''P''<sup> −1</sup>}}の反垂足三角形の面積の積は{{Math|△''ABC''}}の面積の[[自乗|二乗]]に等しい。

== 垂足円 ==
[[ファイル:Isogonal_points2_pedal_circle.svg|サムネイル|336x336ピクセル| {{Mvar|P}} 及び{{Mvar|P}}の等角共役点{{Mvar|P*}}の垂足円。]]{{詳細記事|垂足円}}
垂足三角形の[[外接円]]を'''垂足円'''（Pedal circle）という<ref name=":1" />。ただし三角形の外接円上の点の垂足円は定義できない、または、[[半径]]が[[無限|無限大]]である円として捉える（[[シムソン線]]と一致する）。 

=== 等角共役点の垂足円 ===
三角形の外接円上にない点{{Mvar|P}}について{{Mvar|P}}の垂足円と{{Mvar|P}}の[[等角共役点]]{{Mvar|P*}}の垂足円は一致する。また、垂足円の中心は{{Mvar|P}}と{{Mvar|P*}}の中点であることが知られている<ref>{{Cite book |last=Honsberger |first=Ross |url=http://dx.doi.org/10.5948/upo9780883859513 |title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry |date=1995-01-01 |publisher=The Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-951-3}}</ref>。

例えば{{Mvar|P}}が[[垂心]]であるとき垂足円は[[九点円]]であり、{{Mvar|P*}}は[[外心]]なのでこの垂足円も九点円になる。{{Mvar|P}}が[[内接円|内心]]であるとき内接円である。

=== 垂足円に対する垂足三角形の対蹠点 ===
Pの垂足三角形の各頂点を垂足円の中心で鏡映した点の成す三角形と、元の三角形は配景の関係にある<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(2) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X2 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-25}}</ref>。この配景の中心をPの'''pedal antipodal perspector'''という。例えば、それぞれ内心、垂心のpedal antipodal perspectorは[[ナーゲル点]]、[[プラソロフ点]]である。

== 関連 ==

* [[チェバ線]]
* [[ミケルの定理]]
* [[マッケイ三次曲線]]
* [[フォントネーの定理]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* [http://mathworld.wolfram.com/PedalTriangle.html Mathworld: Pedal Triangle]
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/SimsonLine.shtml#pedalTriangle Simson Line]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/OrthologicPedal.shtml Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy]
* [https://www.geogebra.org/m/strsmxt5 pedal triangle and pedal circle] - interactive illustration
{{デフォルトソート:すいそくさんかくけい}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形]]