垂足三角形

テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line

ユークリッド幾何学において、垂足三角形（すいそくさんかくけい、英:Pedal triangle）とは三角形と点に対して定義される三角形の一つである。

テンプレート:Mathとテンプレート:Mvarでない点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarから直線テンプレート:Mvarに垂線を降ろし、垂線とそれぞれの直線の交点（垂足）をテンプレート:Mvarとする。このときテンプレート:Math を垂足三角形と言う。

テンプレート:Math が鋭角三角形でテンプレート:Mathの角がそれぞれテンプレート:Math,テンプレート:Math,テンプレート:Mathならば、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mathの垂心である。日本語ではこのときのテンプレート:Mathのみを垂足三角形と呼ぶ場合もある。

特別な点の垂足三角形の例を挙げる。

• 垂心の垂足三角形は垂足三角形（orthic triangle）である。広義の垂足三角形と区別するため垂心三角形と呼ばれることもある。
• 内心の垂足三角形はジェルゴンヌ三角形（接触三角形）である。
• 外心の垂足三角形は中点三角形である。
• 外接円上の点の垂足三角形は退化してシムソン線となる。
• 等力点の垂足三角形は正三角形となる。

テンプレート:Mvarが外接円上にある場合テンプレート:Legend-lineテンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line

内部のテンプレート:Mvarの垂足三角形の頂点について、以下の等式が成り立つ。これはカルノーの定理 (垂線)と呼ばれる。$$|AN{|}^2+|BL{|}^2+|CM{|}^2=|NB{|}^2+|LC{|}^2+|MA{|}^2.$$

三線座標

テンプレート:Mvarの三線座標をテンプレート:Mvarとし、Pの垂足三角形の頂点テンプレート:Mvarの座標は以下の様に与えられる。$$\begin{array}{ccccccc}L& =& 0& :& q+p\cos C& :& r+p\cos B\\ M& =& p+q\cos C& :& 0& :& r+q\cos A\\ N& =& p+r\cos B& :& q+r\cos A& :& 0\end{array}$$

反垂足三角形

点 テンプレート:Mvarを、テンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの垂線とテンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの垂線の交点とする。点テンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarも同様に定義する。 テンプレート:Mathをテンプレート:Mvarの反垂足三角形（Antipedal triangle）または逆垂足三角形と言い、それら点の三線座標は以下の様に与えられる。$$\begin{array}{ccccccc}{L}^{\prime }& =& -(q+p\cos C)(r+p\cos B)& :& (r+p\cos B)(p+q\cos C)& :& (q+p\cos C)(p+r\cos B)\\ M^{\prime }& =& (r+q\cos A)(q+p\cos C)& :& -(r+q\cos A)(p+q\cos C)& :& (p+q\cos C)(q+r\cos A)\\ N^{\prime }& =& (q+r\cos A)(r+p\cos B)& :& (p+r\cos B)(r+q\cos A)& :& -(p+r\cos B)(q+r\cos A)\end{array}$$特別な点に対する反垂足三角形の例を挙げる。

• 内心の反垂足三角形は傍心三角形である。
• 外心の反垂足三角形は外接三角形である。
• 垂心の反垂足三角形は反中点三角形である。

テンプレート:Mvarを直線テンプレート:Mvar上にない点、テンプレート:Mathをテンプレート:Mvarの等角共役点とする。 テンプレート:Mvarの垂足三角形とテンプレート:Mathの反垂足三角形は相似の位置にある。相似の中心の三線座標は以下の様に与えられる 。 $$ap(p+q\cos C)(p+r\cos B):bq(q+r\cos A)(q+p\cos C):cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)$$テンプレート:Mvarの垂足三角形とテンプレート:Mathの反垂足三角形の面積の積はテンプレート:Mathの面積の二乗に等しい。

垂足円

テンプレート:Mvar 及びテンプレート:Mvarの等角共役点テンプレート:Mvarの垂足円。

垂足三角形の外接円を垂足円（Pedal circle）という。ただし三角形の外接円上の点の垂足円は定義できない、または、半径が無限大である円として捉える（シムソン線と一致する）。

等角共役点の垂足円

三角形の外接円上にない点テンプレート:Mvarについてテンプレート:Mvarの垂足円とテンプレート:Mvarの等角共役点テンプレート:Mvarの垂足円は一致する。また、垂足円の中心はテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの中点であることが知られている。

例えばテンプレート:Mvarが垂心であるとき垂足円は九点円であり、テンプレート:Mvarは外心なのでこの垂足円も九点円になる。テンプレート:Mvarが内心であるとき内接円である。

垂足円に対する垂足三角形の対蹠点

Pの垂足三角形の各頂点を垂足円の中心で鏡映した点の成す三角形と、元の三角形は配景の関係にある。この配景の中心をPのpedal antipodal perspectorという。例えば、それぞれ内心、垂心のpedal antipodal perspectorはナーゲル点、プラソロフ点である。

関連

• チェバ線
• ミケルの定理
• マッケイ三次曲線
• フォントネーの定理

外部リンク

• Mathworld: Pedal Triangle
• Simson Line
• Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy
• pedal triangle and pedal circle - interactive illustration