垂足円のソースを表示

[[ファイル:Pedal_circle1.svg|サムネイル|辺長{{Mvar|a, b, c}}の{{Math|△''ABC''}}と点{{Mvar|P}}。<br />{{Mvar|P}}の各辺における垂足{{Mvar|P{{sub|a}}, P{{sub|b}}, P{{sub|c}}}}。<br />外心{{Mvar|O}}。<br />緑の線は{{Mvar|P}}の垂足円半径を表すのに使われる線分。]]
[[ファイル:Isogonal_points_pedal_circle.svg|サムネイル|{{Math|△''ABC''}}に関する等角共役の関係にある点{{Mvar|P, Q}}。<br />垂足円は6つの垂足{{Mvar|P{{sub|a}}, P{{sub|b}}, P{{sub|c}}}}、{{Mvar|Q{{sub|a}}, Q{{sub|b}}, Q{{sub|c}}}}。<br />垂足円の中心{{Mvar|M}}は線分{{Mvar|PQ}}の中点。<br />角の二等分線{{Mvar|w{{sub|a}}, w{{sub|b}}, w{{sub|c}}}}。]]
[[ファイル:Pedal_circle_4_points.svg|サムネイル|4点 <math>A,B,C,D</math> と4つの垂足円の交点<math>S</math>]]
'''垂足円'''（すいそくえん、{{Lang-en-short|pedal circle}}）は、[[幾何学]]において[[三角形]]{{Mvar|ABC}}と点{{Mvar|P}}について決まる特別な[[円 (数学)|円]]である。具体的には、点{{Mvar|P}}から{{Math|△''ABC''}}の[[辺]]に降ろした[[垂線]]と辺の交点{{Mvar|P{{sub|a}}, P{{sub|b}}, P{{sub|c}}}}（垂足）が成す三角形（[[垂足三角形]]）の[[外接円]]を指す用語<ref name=":0">[[Ross Honsberger]]: ''[https://books.google.co.jp/books?hl=ja&lr=&id=7vcrmWEV73AC&oi=fnd&pg=PP11&dq=Episodes+in+Nineteenth+and+Twentieth+Century+Euclidean+Geometry&ots=0XwGharvOc&sig=U4H56Vmq76HLeVCKbwaT83tnTaw#v=onepage&q=Episodes%20in%20Nineteenth%20and%20Twentieth%20Century%20Euclidean%20Geometry&f=false Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry]''. MAA, 1995, pp. 67–75</ref><ref name="Johnson">[[ロジャー・アーサー・ジョンソン|Roger A. Johnson]]: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007 (reprint), ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 135–144, 155, 240</ref>。

基準三角形の[[外心]]を{{Mvar|O}}、[[外接円]]の半径を{{Mvar|R}}として、{{Mvar|P}}の垂足円の半径{{Mvar|r{{sub|P}}}}は次の式で表される<ref name="Johnson" />。

: <math>r_{P}=\frac{|PA| \cdot |PB| \cdot |PC|}{2\cdot (R^2-|PO|^2)} </math>

{{Mvar|P}}が基準三角形の外接円上にあるとき、この式の分母は0になる。これは{{Mvar|P}}の垂足三角形が退化して[[シムソン線]]となり、その垂足円は半径が[[無限|無限大]]の円となるためである。{{Mvar|P}}が基準三角形の[[内心]]であるとき、その垂足円は基準三角形の[[内接円]]である。{{Mvar|P}}が基準三角形の[[垂心]]または外心であるとき、その垂足円は[[九点円]]である<ref name="mw">{{MathWorld|title=Pedal Circle|urlname=PedalCircle}}</ref>。

{{Mvar|P}}を外接円上にない点として、{{Mvar|P}}の[[等角共役点]]{{Mvar|Q}}の垂足円は{{Mvar|P}}の垂足円と一致する。つまり垂足{{Mvar|P{{sub|a}}, P{{sub|b}}, P{{sub|c}}}}と{{Mvar|Q{{sub|a}}, Q{{sub|b}}, Q{{sub|c}}}}は[[同一円周上にある]]。さらに垂足円の中心は[[線分]]{{Mvar|PQ}}の[[中点]]である<ref name=":0" />。 

[[グリフィスの定理]]または第二[[フォントネーの定理]]によれば、基準三角形の外心を通る直線の垂足円はある[[不動点|定点]]を通る<ref>{{MathWorld|title=Griffiths' Theorem|urlname=GriffithsTheorem}}</ref>。

[[共線]]でない4点{{Mvar|A, B, C, D}}について、1点とほか3点の成す三角形に対する延べ4つの垂足円は1点で交わる<ref name="mw" />。
== 一般化 ==
2021年[[斎藤輝]]は、[[対垂三角形]]を対等角三角形に一般化するように、垂足円を任意の角に一般化した<ref>{{Cite journal|journal=塩野直道記念 第9回「算数・数学の自由研究」作品コンクール|author=[[齋藤輝]]|year=2021|title=シムソン線,９点円の一般化とオイラー・ポンスレ点|url=https://www.rimse.or.jp/research/past/pdf/9th/work10.pdf}}</ref>。
:等角共役点{{Mvar|P, Q}}をそれぞれ各辺に{{Mvar|θ, -θ}}の角度で射影した点、延べ6点は共円である。
{{Math|1=''θ'' = 90°}}とすれば垂足円を得る。
== 出典 ==
<references />

== 関連項目 ==
* [[オイラー・ポンスレ点]]
* [[六点円]]
* [[フォイエルバッハの定理]]
== 外部リンク ==
* {{Commonscat-inline}}
* [https://www.geogebra.org/m/w5k8yQC9 ''Pedal Circle of Isogonal Conjugates''] -  GeoGebra
* [https://www.geogebra.org/m/strsmxt5 pedal triangle and pedal circle] 
* [https://sugakuyugi.web.fc2.com/toukaku.pdf 等角共役点]
{{デフォルトソート:すいそくえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]