垂足円

辺長テンプレート:Mvarのテンプレート:Mathと点テンプレート:Mvar。
テンプレート:Mvarの各辺における垂足テンプレート:Mvar。
外心テンプレート:Mvar。
緑の線はテンプレート:Mvarの垂足円半径を表すのに使われる線分。

テンプレート:Mathに関する等角共役の関係にある点テンプレート:Mvar。
垂足円は6つの垂足テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar。
垂足円の中心テンプレート:Mvarは線分テンプレート:Mvarの中点。
角の二等分線テンプレート:Mvar。

4点 $A,B,C,D$ と4つの垂足円の交点$S$

垂足円（すいそくえん、テンプレート:Lang-en-short）は、幾何学において三角形テンプレート:Mvarと点テンプレート:Mvarについて決まる特別な円である。具体的には、点テンプレート:Mvarからテンプレート:Mathの辺に降ろした垂線と辺の交点テンプレート:Mvar（垂足）が成す三角形（垂足三角形）の外接円を指す用語。

基準三角形の外心をテンプレート:Mvar、外接円の半径をテンプレート:Mvarとして、テンプレート:Mvarの垂足円の半径テンプレート:Mvarは次の式で表される。

$r_P=\frac{|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^2-|PO{|}^2)}$

テンプレート:Mvarが基準三角形の外接円上にあるとき、この式の分母は0になる。これはテンプレート:Mvarの垂足三角形が退化してシムソン線となり、その垂足円は半径が無限大の円となるためである。テンプレート:Mvarが基準三角形の内心であるとき、その垂足円は基準三角形の内接円である。テンプレート:Mvarが基準三角形の垂心または外心であるとき、その垂足円は九点円である。

テンプレート:Mvarを外接円上にない点として、テンプレート:Mvarの等角共役点テンプレート:Mvarの垂足円はテンプレート:Mvarの垂足円と一致する。つまり垂足テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarは同一円周上にある。さらに垂足円の中心は線分テンプレート:Mvarの中点である。

グリフィスの定理または第二フォントネーの定理によれば、基準三角形の外心を通る直線の垂足円はある定点を通る。

共線でない4点テンプレート:Mvarについて、1点とほか3点の成す三角形に対する延べ4つの垂足円は1点で交わる。

一般化

2021年斎藤輝は、対垂三角形を対等角三角形に一般化するように、垂足円を任意の角に一般化した。

等角共役点テンプレート:Mvarをそれぞれ各辺にテンプレート:Mvarの角度で射影した点、延べ6点は共円である。

テンプレート:Mathとすれば垂足円を得る。

関連項目

• オイラー・ポンスレ点
• 六点円
• フォイエルバッハの定理

外部リンク

• テンプレート:Commonscat-inline
• Pedal Circle of Isogonal Conjugates - GeoGebra
• pedal triangle and pedal circle
• 等角共役点