変位演算子のソースを表示

[[量子光学]]における1つのモードの'''変位演算子'''（へんいえんざんし）とは、次のような[[シフト演算子]]である。
:<math>\hat{D}(\alpha)=\exp \left ( \alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^\ast \hat{a} \right ) </math>
ここで<math>\alpha</math>は{{仮リンク|光学位相空間|en|optical phase space}}での変位の大きさ、<math>\alpha^*</math>はその変位の複素共役、<math>\hat{a}</math>と<math>\hat{a}^\dagger</math>は[[生成消滅演算子]]である。
この名前は位相空間での局在状態を大きさ<math>\alpha</math>だけ変位できることに由来する。
また真空状態に作用することで[[コヒーレント状態]]に変位させる。
:<math>\hat{D}(\alpha)|0\rangle=|\alpha\rangle</math>
<math>|\alpha\rangle</math>は[[コヒーレント状態]]で、消滅演算子の[[固有状態]]である。

== 性質 ==
変位演算子は[[ユニタリー演算子]]であり、次に従う。
:<math>\hat{D}(\alpha)\hat{D}^\dagger(\alpha)=\hat{D}^\dagger(\alpha)\hat{D}(\alpha)=\hat{1}</math>
変位演算子の[[エルミート共役]]は逆の大きさ(<math>-\alpha</math>)の変位である。
:<math> \hat{D}^\dagger(\alpha)=\hat{D}(-\alpha)</math>
生成消滅演算子に変位演算子による[[相似変換]]をすると、生成消滅演算子が変位される。
:<math>\hat{D}^\dagger(\alpha) \hat{a} \hat{D}(\alpha)=\hat{a}+\alpha</math>
:<math>\hat{D}(\alpha) \hat{a} \hat{D}^\dagger(\alpha)=\hat{a}-\alpha</math>
2つの変位演算子の積も変位演算子である。[[位相因子]]は別として、2つの個々の変位を足し合わせたトータルの変位を行う。
:<math>\hat{D}(\alpha)\hat{D}(\beta)= e^{(\alpha\beta^*-\alpha^*\beta)/2} \hat{D}(\alpha + \beta)</math>
これは{{仮リンク|ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式|en|Baker–Campbell–Hausdorff formula}}を使うと証明できる（<math> e^{\alpha \hat{a}^{\dagger} - \alpha^*\hat{a}} e^{\beta\hat{a}^{\dagger} - \beta^*\hat{a}} = e^{(\alpha + \beta)\hat{a}^{\dagger} - (\beta^*+\alpha^*)\hat{a}} e^{(\alpha\beta^*-\alpha^*\beta)/2} </math>）。これが固有ケットに作用すると位相因子<math>e^{(\alpha\beta^*-\alpha^*\beta)/2}</math>が現れるが、これは物理的には意味がない。<ref>Christopher Gerry and Peter Knight: ''Introductory Quantum Optics''. Cambridge (England): Cambridge UP, 2005.</ref>

== 別の表現 ==
変位演算子を表す2つの方法がある。それぞれ、
:<math>\hat{D}(\alpha)  = e^{ -\frac{1}{2} | \alpha |^2  } e^{+\alpha \hat{a}^{\dagger}} e^{-\alpha^{*} \hat{a} } </math>
:<math>\hat{D}(\alpha)  = e^{ +\frac{1}{2} | \alpha |^2  } e^{-\alpha^{*} \hat{a} }e^{+\alpha \hat{a}^{\dagger}} </math>

== 多重モードの変位 ==
変位演算子は、多重モードの変位に一般化できる。
多重モードの生成演算子は次のように定義される。
:<math>\hat A_{\psi}^{\dagger}=\int d\mathbf{k}\psi(\mathbf{k})\hat a^{\dagger}(\mathbf{k})</math>
ここで<math>\mathbf{k}</math>は波数ベクトルであり、大きさは振動数<math>\omega_{\mathbf{k}}</math>とつながっている。
:<math>|\mathbf{k}|=\omega_{\mathbf{k}}/c</math>
この定義を使うと、多重モード変位演算子は次のように書ける。
:<math>\hat{D}_{\psi}(\alpha)=\exp \left ( \alpha \hat A_{\psi}^{\dagger} - \alpha^\ast \hat A_{\psi} \right ) </math>
また多重モードのコヒーレント状態は次のように定義できる。
:<math>|\alpha_{\psi}\rangle\equiv\hat{D}_{\psi}(\alpha)|0\rangle</math>

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|光学位相空間|en|optical phase space}}

{{物理学の演算子}}
{{デフォルトソート:へんいえんさんし}}
[[Category:量子光学]]