変位演算子

量子光学における1つのモードの変位演算子（へんいえんざんし）とは、次のようなシフト演算子である。

$\hat{D}(\alpha )=\exp (\alpha {\hat{a}}^{†}-{\alpha }^{\ast }\hat{a})$

ここで$\alpha$はテンプレート:仮リンクでの変位の大きさ、${\alpha }^{*}$はその変位の複素共役、$\hat{a}$と${\hat{a}}^{†}$は生成消滅演算子である。 この名前は位相空間での局在状態を大きさ$\alpha$だけ変位できることに由来する。 また真空状態に作用することでコヒーレント状態に変位させる。

$\hat{D}(\alpha )|0⟩=|\alpha ⟩$

$|\alpha ⟩$はコヒーレント状態で、消滅演算子の固有状態である。

性質

変位演算子はユニタリー演算子であり、次に従う。

$\hat{D}(\alpha ){\hat{D}}^{†}(\alpha )={\hat{D}}^{†}(\alpha )\hat{D}(\alpha )=\hat{1}$

変位演算子のエルミート共役は逆の大きさ($-\alpha$)の変位である。

${\hat{D}}^{†}(\alpha )=\hat{D}(-\alpha )$

生成消滅演算子に変位演算子による相似変換をすると、生成消滅演算子が変位される。

${\hat{D}}^{†}(\alpha )\hat{a}\hat{D}(\alpha )=\hat{a}+\alpha$

$\hat{D}(\alpha )\hat{a}{\hat{D}}^{†}(\alpha )=\hat{a}-\alpha$

2つの変位演算子の積も変位演算子である。位相因子は別として、2つの個々の変位を足し合わせたトータルの変位を行う。

$\hat{D}(\alpha )\hat{D}(\beta )=e^{(\alpha {\beta }^{*}-{\alpha }^{*}\beta )/2}\hat{D}(\alpha +\beta )$

これはテンプレート:仮リンクを使うと証明できる（$e^{\alpha {\hat{a}}^{†}-{\alpha }^{*}\hat{a}}{e}^{\beta {\hat{a}}^{†}-{\beta }^{*}\hat{a}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat{a}}^{†}-({\beta }^{*}+{\alpha }^{*})\hat{a}}{e}^{(\alpha {\beta }^{*}-{\alpha }^{*}\beta )/2}$）。これが固有ケットに作用すると位相因子$e^{(\alpha {\beta }^{*}-{\alpha }^{*}\beta )/2}$が現れるが、これは物理的には意味がない。

別の表現

変位演算子を表す2つの方法がある。それぞれ、

$\hat{D}(\alpha )=e^{-\frac{1}{2}|\alpha {|}^2}{e}^{+\alpha {\hat{a}}^{†}}{e}^{-{\alpha }^{*}\hat{a}}$

$\hat{D}(\alpha )=e^{+\frac{1}{2}|\alpha {|}^2}{e}^{-{\alpha }^{*}\hat{a}}{e}^{+\alpha {\hat{a}}^{†}}$

多重モードの変位

変位演算子は、多重モードの変位に一般化できる。 多重モードの生成演算子は次のように定義される。

${\hat{A}}_{\psi }^{†}=\int d𝐤\psi (𝐤){\hat{a}}^{†}(𝐤)$

ここで$𝐤$は波数ベクトルであり、大きさは振動数${\omega }_{𝐤}$とつながっている。

$|𝐤|={\omega }_{𝐤}/c$

この定義を使うと、多重モード変位演算子は次のように書ける。

${\hat{D}}_{\psi }(\alpha )=\exp (\alpha {\hat{A}}_{\psi }^{†}-{\alpha }^{\ast }{\hat{A}}_{\psi })$

また多重モードのコヒーレント状態は次のように定義できる。

$|{\alpha }_{\psi }⟩\equiv {\hat{D}}_{\psi }(\alpha )|0⟩$

関連項目

• テンプレート:仮リンク