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'''変形勾配'''（へんけいこうばい、{{lang-en-short|deformation gradient}}）または'''変形勾配テンソル'''（{{lang-en-short|deformation gradient tensor}}）とは、[[連続体力学]]において、[[物体]]の[[変形]]を特徴付ける[[テンソル]]量である。

基準配置における物質点{{math|'''''X'''''}} およびその近傍の点{{math|'''''X''''' + d'''''X'''''}} が、変形後にそれぞれ点{{math|'''''x''''' , '''''x''''' + d'''''x'''''}} に移ったとする。{{math|d'''''X'''''}} が微小であれば、{{math|d'''''x'''''}} は[[線形近似]]できて
: <math>\mathrm{d}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}+\mathrm{d}\boldsymbol{X}) - \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}) = \frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\boldsymbol{X}}\mathrm{d}\boldsymbol{X} = F \mathrm{d}\boldsymbol{X}</math>
のように書ける。このとき{{math|''F''}} を変形勾配と呼ぶ。変形勾配は物質座標系における量を空間座標系における標記へ変換するという意味を持つ<ref name=shirakashi>{{cite|和書 |author=白樫正高|author2=増田渉|author3=高橋勉 |title=流体工学の基礎 |publisher=丸善 |year=2006 |isbn=4-621-07779-1 |pages=80-84}}</ref>。

基準配置{{math|'''''X'''''}} に対し、時刻{{math|''t''}} における変形勾配を{{math|''F''(''t'')}} 、時刻{{math|''&tau;''}} における変形勾配を{{math|''F''(''&tau;'')}} 、そして時刻{{math|''&tau;''}} から{{math|''t''}} への変形の変形勾配を{{math|''F''(''&tau;'', ''t'')}} と書けば、これらの間には次の関係が成り立つ<ref name=shirakashi/>。
:<math>F(\tau,t)=F(t)F^{-1}(\tau).</math>

変形勾配の[[行列式]] {{math|det ''F''}} は'''体積変化率'''と呼ばれる。

==極分解とひずみテンソル==
変形勾配は{{仮リンク|極分解定理|en|polar decomposition}}により次のように2つのテンソルの積に分解できる<ref>{{cite|和書 |author=渋谷陽二 |title=塑性の物理 |publisher=森北出版 |year=2011 |isbn=978-4-627-66761-7 |pages=3-11}}</ref>。
:<math>F=VR=RU</math>
ここで{{math|''R''}} は[[直交行列|直交テンソル]]である。{{math|''V''}} は'''左ストレッチテンソル'''（{{lang-en-short|left stretch tensor}}）、{{math|''U''}} は'''右ストレッチテンソル'''（{{lang-en-short|right stretch tensor}}）と呼ばれ、それぞれ[[正定値]]対称テンソルである。この分解は、任意の変形は剛体回転{{math|''R''}} とストレッチテンソル{{math|''V'' , ''U''}} の主方向への伸縮との重ね合わせで表現できるという幾何学的意味を持つ。

さらにここから以下のテンソルが定義される。ここで{{math|'''''u''''' {{=}} '''''x''''' - '''''X'''''}} は[[変位]]ベクトルである。
;左コーシー・グリーンテンソル、右コーシー・グリーンテンソル
:<math>B=V^2=F F^\mathrm{T},\quad C=U^2=F^\mathrm{T} F</math>
;アルマンシー（Almansi）のひずみテンソル
:<math>\begin{align}
e&=\frac{1}{2}(I-B^{-1}),\\
e_{ij}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right)
\end{align}</math>
;グリーンのひずみテンソル
:<math>\begin{align}
E&=\frac{1}{2}(C-I),\\
E_{ij}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\frac{\partial u_k}{\partial X_j}\right)
\end{align}</math>

これらのテンソルを用いると、物体内の距離{{math|d'''''X''''' , d'''''x'''''}} の変化は次のように記述できる。
:<math>|\mathrm{d}\boldsymbol{x}|^2 - |\mathrm{d}\boldsymbol{X}|^2 = 2 \mathrm{d}\boldsymbol{x}^\mathrm{T} e \mathrm{d}\boldsymbol{x} = 2 \mathrm{d}\boldsymbol{X}^\mathrm{T} E \mathrm{d}\boldsymbol{X}</math>

微小変形においては、アルマンシーのひずみテンソルとグリーンのひずみテンソルは一致する。

==速度勾配テンソル==
変形が時間とともに進むとき、その速度は'''速度勾配テンソル'''{{math|''L''}} で記述される。
:<math>\begin{align}
& \mathrm{d}\dot{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{X},t) = \dot{F}\mathrm{d}\boldsymbol{X} = L\mathrm{d}\boldsymbol{x},\\
& L\equiv \dot{F}F^{-1}
\end{align}</math>

速度勾配テンソル{{math|''L''}} の[[対称行列|対称]]部分は'''変形速度テンソル'''、[[交代行列|反対称]]部分は'''回転速度テンソル'''と呼ばれる<ref name=shirakashi/>。

==プッシュフォワード、プルバック==
変形勾配は基準配置を参照するテンソルと現在配置を参照するテンソルの変換作用素となる役割を持つ。たとえば冒頭で述べた
: <math>\mathrm{d}\boldsymbol{x} = F \mathrm{d}\boldsymbol{X}</math>
のように、基準配置を参照する座標{{math|d'''''X'''''}} を現在配置を参照する座標{{math|d'''''x'''''}} に変換する。このことを、{{math|d'''''X'''''}}  は{{math|d'''''x'''''}} へ'''プッシュフォワード'''される、あるいは{{math|d'''''X'''''}} は{{math|d'''''x'''''}} の'''プルバック'''であるという<ref>{{cite|和書 |editor=非線形CAE協会 |author= |title=例題で学ぶ連続体力学 |edition= |publisher=森北出版 |year=2016 |isbn=978-4-627-94821-1 |page=234}}</ref>。

例としては、[[変形勾配#極分解とひずみテンソル|アルマンジひずみ]]{{math|''e''}} はグリーンひずみ{{math|''E''}} のプッシュフォワードであり、変形勾配を用いて以下のように変換される：
:<math>e=F^{-T} E F^{-1},\quad E=F^T e F.</math>
また、キルヒホッフ応力テンソル{{math|''&tau;''}}（コーシー応力と体積変化率の積）は[[応力#パイオラ･キルヒホッフ応力テンソル|第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル]]{{math|''S''}} のプッシュフォワードである：
:<math>\tau \equiv (\det F)\sigma = FSF^T,\quad S=F^{-1}\tau F^{-T}.</math>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ひずみ]]、{{仮リンク|有限ひずみ理論|en|finite strain theory}}
* [[非圧縮性]] - {{Math|1=det ''F'' = 1}}であることを非圧縮性という。
* [[材料の構成式]]

{{tensors}}

{{DEFAULTSORT:へんけいこうはい}}
[[Category:連続体力学]]
[[Category:テンソル]]