変形勾配

変形勾配（へんけいこうばい、テンプレート:Lang-en-short）または変形勾配テンソル（テンプレート:Lang-en-short）とは、連続体力学において、物体の変形を特徴付けるテンソル量である。

基準配置における物質点テンプレート:Math およびその近傍の点テンプレート:Math が、変形後にそれぞれ点テンプレート:Math に移ったとする。テンプレート:Math が微小であれば、テンプレート:Math は線形近似できて

$\mathrm{d}𝒙=𝒙(𝑿+\mathrm{d}𝑿)-𝒙(𝑿)=\frac{\partial 𝒙}{\partial 𝑿}\mathrm{d}𝑿=F\mathrm{d}𝑿$

のように書ける。このときテンプレート:Math を変形勾配と呼ぶ。変形勾配は物質座標系における量を空間座標系における標記へ変換するという意味を持つ。

基準配置テンプレート:Math に対し、時刻テンプレート:Math における変形勾配をテンプレート:Math 、時刻テンプレート:Math における変形勾配をテンプレート:Math 、そして時刻テンプレート:Math からテンプレート:Math への変形の変形勾配をテンプレート:Math と書けば、これらの間には次の関係が成り立つ。

$F(\tau ,t)=F(t)F^{-1}(\tau ).$

変形勾配の行列式 テンプレート:Math は体積変化率と呼ばれる。

極分解とひずみテンソル

変形勾配はテンプレート:仮リンクにより次のように2つのテンソルの積に分解できる。

$F=VR=RU$

ここでテンプレート:Math は直交テンソルである。テンプレート:Math は左ストレッチテンソル（テンプレート:Lang-en-short）、テンプレート:Math は右ストレッチテンソル（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれ、それぞれ正定値対称テンソルである。この分解は、任意の変形は剛体回転テンプレート:Math とストレッチテンソルテンプレート:Math の主方向への伸縮との重ね合わせで表現できるという幾何学的意味を持つ。

さらにここから以下のテンソルが定義される。ここでテンプレート:Math は変位ベクトルである。

左コーシー・グリーンテンソル、右コーシー・グリーンテンソル

$B=V^2=F{F}^{\mathrm{T}},C=U^2=F^{\mathrm{T}}F$

アルマンシー（Almansi）のひずみテンソル

$\begin{array}{cc}e& =\frac{1}{2}(I-B^{-1}),\\ e_{ij}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_j})\end{array}$

グリーンのひずみテンソル

$\begin{array}{cc}E& =\frac{1}{2}(C-I),\\ E_{ij}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial X_j}+\frac{\partial u_j}{\partial X_i}+\frac{\partial u_k}{\partial X_i}\frac{\partial u_k}{\partial X_j})\end{array}$

これらのテンソルを用いると、物体内の距離テンプレート:Math の変化は次のように記述できる。

$|\mathrm{d}𝒙{|}^2-|\mathrm{d}𝑿{|}^2=2\mathrm{d}{𝒙}^{\mathrm{T}}e\mathrm{d}𝒙=2\mathrm{d}{𝑿}^{\mathrm{T}}E\mathrm{d}𝑿$

微小変形においては、アルマンシーのひずみテンソルとグリーンのひずみテンソルは一致する。

速度勾配テンソル

変形が時間とともに進むとき、その速度は速度勾配テンソルテンプレート:Math で記述される。

$\begin{array}{cc}& \mathrm{d}\dot{𝒙}(𝑿,t)=\dot{F}\mathrm{d}𝑿=L\mathrm{d}𝒙,\\ & L\equiv \dot{F}{F}^{-1}\end{array}$

速度勾配テンソルテンプレート:Math の対称部分は変形速度テンソル、反対称部分は回転速度テンソルと呼ばれる。

プッシュフォワード、プルバック

変形勾配は基準配置を参照するテンソルと現在配置を参照するテンソルの変換作用素となる役割を持つ。たとえば冒頭で述べた

$\mathrm{d}𝒙=F\mathrm{d}𝑿$

のように、基準配置を参照する座標テンプレート:Math を現在配置を参照する座標テンプレート:Math に変換する。このことを、テンプレート:Math はテンプレート:Math へプッシュフォワードされる、あるいはテンプレート:Math はテンプレート:Math のプルバックであるという。

例としては、アルマンジひずみテンプレート:Math はグリーンひずみテンプレート:Math のプッシュフォワードであり、変形勾配を用いて以下のように変換される：

$e=F^{-T}E{F}^{-1},E=F^{T}eF.$

また、キルヒホッフ応力テンソルテンプレート:Math（コーシー応力と体積変化率の積）は第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルテンプレート:Math のプッシュフォワードである：

$\tau \equiv (\det F)\sigma =FS{F}^T,S=F^{-1}\tau F^{-T}.$

関連項目

• ひずみ、テンプレート:仮リンク
• 非圧縮性 - テンプレート:Mathであることを非圧縮性という。
• 材料の構成式