多変数の微分のソースを表示

{{複数の問題|精度=2015年4月|正確性=2015年4月}}
'''多変数の微分'''（たへんすうのびぶん）<ref name=spivac>[[#Spivak|Spivak (2007)]].</ref><ref name=iwahori>[[#Iwahori|岩堀 (1993)]]。</ref><ref name=shima>[[#Shima|島 (1991)]]。</ref><ref name=warn>[[#Warner|Warner (2010)]].</ref>は、多変数関数を、局所的に[[線形写像]]（[[ヤコビ行列]]）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。

==数ベクトル空間についての補足==
===数ベクトル空間===
''n'' [[次元]]実数[[ベクトル空間|ベクトル]]空間 <math>\mathbb{R}^n</math> とは、集合としては

:<math>\mathbb{R}^n = \left\{ \left. \left( \begin{matrix}
   x_1  \\
   \vdots   \\
   x_n  \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
   x_1,\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb{R}  \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.</math>　　　　　　　　(1-2)

である。つまり ''n'' 個の実数 <math>{{x}_{1}}\ ,\ \cdots \ ,\ {{x}_{n}}</math> を用いて

:<math>\left( \begin{matrix}
   x_1  \\
   \vdots   \\
   x_n  \\
\end{matrix} \right)</math>　　(1-3)

の形で表せるもの全てを集めてきたものである。
特に、以下で定まる <math>\mathbf{e}_i</math> を、第 ''i'' 標準ベクトルという。

:<math>\mathbf{e}_1 =\left( \begin{matrix}
   1  \\
   \vdots   \\
   0  \\
\end{matrix} \right),\ \cdots , \mathbf{e}_n =\left( \begin{matrix}
   0  \\
   \vdots   \\
   1  \\
\end{matrix} \right)</math>　　　　(1-8)

である。

===標準座標系===
次に <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>\mathbb{R}^m</math> の標準座標系を定義する。<math>\mathbb{R}^n</math> に対し、

:<math>\textit{r}_j(\mathbf{x})=\langle\mathbf{x}\ |\ \mathbf{e}_j\rangle</math>　　　　(1-6)

とし、これを <math>\mathbb{R}^n</math> の第 ''j'' 座標関数という。ここで <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> は[[内積]]を表す。つまり、

:<math>\textit{r}_j\left(\left( \begin{matrix}
   x_1  \\
   \vdots   \\
   x_n  \\
\end{matrix} \right)\right)=x_j</math>　　　　(1-7)

である。
<math>\mathbb{R}^n</math> 標準座標系とは、<math>\textit{r}_1, \textit{r}_2, \cdots , \textit{r}_n</math> の組 <math>\langle\textit{r}_1,\textit{r}_2,\cdots ,\textit{r}_n\rangle</math> のことである<ref name=warn/>。当然、

:<math>\textbf{x}=\left( \begin{matrix}
   x_1  \\
   \vdots   \\
   x_n  \\
\end{matrix} \right)=\sum\limits_{j=1}^{n}r_j(\mathbf{x})\textbf{e}_j</math>　　　　(1-9)

が成立する。<math>\mathbb{R}^m</math> にも、同様に、<math>\mathbf{e}_1\,\cdots ,\mathbf{e}_m</math> や、標準座標系 <math>\langle \textit{r}_1, \textit{r}_2, \cdots , \textit{r}_m\rangle</math> が定まっている。

さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 (<math>\mathbb{R}^n</math>) の標準座標系を <math>\langle \textit{r}_1, \textit{r}_2, \cdots , \textit{r}_n\rangle</math> と表記し、値域側 (<math>\mathbb{R}^m</math>) の標準座標系も <math>\langle \textit{r}_1, \textit{r}_2, \cdots , \textit{r}_m\rangle</math> と表記していては紛らわしいので、<math>\mathbb{R}^n</math> の標準座標系を <math>\langle\textit{x}_1, \textit{x}_2, \cdots , \textit{x}_n\rangle</math>と書くことにする。つまり、

:<math>\begin{align}
&x_j(\mathbf{x})=r_j(\mathbf{x})\\
&y_i(\mathbf{y})=r_i(\mathbf{y})
\end{align}</math>　　　　(1-10)

とする。<ref group="注">本記事では、「<math>\mathbb{R}^n</math> の第 ''i'' 標準座標系」は、<math>\textit{x}_i</math>（x を文中イタリック）、「<math>\textbf{x}</math> の第 ''i'' 成分」は <math>x_i</math>（x を通常表記）で書き分けている。</ref>
以降、「<math>\mathbb{R}^n</math> に、'''標準'''座標系 <math>\rangle x_1, \cdots, x_n \langle</math> が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。

===多変数ベクトル値関数===
<math>\mathbb{R}^n</math> に'''標準'''座標系 <math>\langle\textit{x}_1, \cdots, \textit{x}_n\rangle</math> が定まっているとし、<math>\mathbb{R}^m</math> に'''標準'''座標系 <math>\langle\textit{y}_1, \cdots, \textit{y}_m\rangle</math>が定まっているとする。

<math>\textbf D</math> を <math>\mathbb{R}^n</math> の部分集合とし、

:<math>\mathbf{f}(x_1, \dots, x_n) = \left( \begin{matrix}
   f_1(x_1, \dots, x_n)  \\
   \vdots  \\
   f_m(x_1, \dots, x_n)  \\
\end{matrix} \right)</math>　　　　(1-1)

を、<math>\textbf D</math> 上で定義された <math>\mathbb{R}^m</math> に値を取る多変数ベクトル値関数という。

以降 <math>f_i</math> は <math>\textbf{f}</math> の第 ''i'' 成分を表す。<math>f_i</math> は以下の性質を満たす。

:<math>f_i(\mathbf{x}) = y_i \circ \mathbf{f}(\mathbf{x}) =y_i( \mathbf{f}(\mathbf{x}))
= \langle \mathbf{e}_i|\mathbf{f}(\mathbf{x}) \rangle</math>　　　　(1-11)
:<math>\mathbf{f}(x_1, \dots , x_n) = \left( \begin{matrix}
   f_1(x_1,\dots,x_n)  \\
   \vdots  \\
   f_m(x_1,\dots,x_n)  \\
\end{matrix} \right) 
= \sum\limits_{i=1}^m f_i(\mathbf{x})\mathbf{e}_i</math>

==偏微分==
===設定===
<math>\mathbb{R}^n</math> に、'''標準'''座標系 <math>\langle\textit{x}_1, \cdots, \textit{x}_n\rangle</math> が定まっているとし、<math>\mathbb{R}^m</math> に、'''標準'''座標系 <math>\langle\textit{y}_1, \cdots, \textit{y}_m\rangle</math> が定まっているとする。
<math>\textbf D</math> を、<math>\mathbb{R}^n</math> の[[開集合]]とし、

:<math>\mathbf{f}(x_1, \dots, x_n) = \left( \begin{matrix}
   f_1(x_1, \dots , x_n)  \\
   \vdots  \\
   f_m(x_1, \dots , x_n)  \\
\end{matrix} \right)</math>　　　　(1-1)

を、<math>\textbf D</math> 上で定義された <math>\mathbb{R}^{m}</math> に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
ここで <math>{{f}_{i}}</math> は <math>\textbf{f}</math> の第 ''i'' 成分を表す。

===偏微分の定義===
<math>\textbf{p}</math> を <math>\textbf D</math> 内の点とし、<math>\textbf{a}</math> を <math>\mathbb{R}^n</math> のベクトルとする（<math>\textbf{p}</math> は <math>\textbf{p}\in\textbf{D}</math> でなければならないが <math>\textbf{a}</math> は <math>\textbf{a}\notin\textbf D</math>であってよい）。

<math>\textbf{p}</math>, <math>\textbf{a}</math> は固定されているものとする。

このとき、<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で <math>\textbf{a}</math> について偏微分可能であるとは、以下の極限値

:<math>\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\,\,\mathbf{f}(\mathbf{p}+t\mathbf{a})-\mathbf{f}(\mathbf{p})}{t}</math>　　　　(1-4)

が存在することを意味する。

このとき <math>\textbf{f}</math>の<math>\textbf{p}</math>における、<math>\textbf{a}</math> について偏微分商、
<math>{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \mathbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}</math>
を、以下のように定義する<ref group="注">[[#Spivak|Spivak]] と[[#Iwahori|岩堀]]に後述の<math>{\textbf{e}}_{i}</math>方向以外の偏微分に関する記載がある。Spivak では <math>{D}_{[\textbf{a}]}f</math> という記号をあてている。本記事の記号は岩堀に合わせた。理由は、「偏微分」を表す記号は <math>\partial</math> のほうがしっくりときそうだからである。</ref>。

:<math>{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \mathbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}\ =\ \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\,\,\mathbf{f}(\mathbf{p}+t\mathbf{a})-\mathbf{f}(\mathbf{p})}{t}</math>　　　(1-5)

===成分関数の微分可能性===
<math>\textbf{f}</math> の第 ''i'' 成分 <math>{f}_{i}</math> は以下の等式を満たす。

:<math>f_i(\mathbf{x}) = y_i \circ \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \langle\mathbf{e}_i\ |\ \mathbf{f}(\mathbf{x}) \rangle</math>　　　　(1-11)

上式において <math>\langle \cdot |\cdot \rangle</math> は内積を意味する。

式 (1-10), (1-11) を用いて、<math>{f}_{i}</math> を（(1-5) の定義式通りに）<math>\textbf{p}</math> で <math>\textbf{a}</math> について偏微分することを考える。
<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で <math>\textbf{a}</math> について偏微分可能ならば、<math>f_i</math> は <math>\textbf{p}</math> で <math>\textbf{a}</math> について偏微分可能で、

:<math>\begin{align}
{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_i \right|}_{[\mathbf{p}]}
&= \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\,\,{f}_{i}(\mathbf{p}+t\mathbf{a})-{f}_{i}(\mathbf{p})}{t}\\
&= \textbf{e}_i \cdot
\left( \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\,
\left( \frac{\,\,\mathbf{f}(\mathbf{p} + t\mathbf{a}) - \mathbf{f}(\mathbf{p})}{t} \right) \right)\\
&= {}^t{\textbf{e}}_{i} \cdot {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}\\
&= {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]} \cdot \textbf{e}_i
\end{align}</math>　　　　(1-12)

が成立する。

逆に、式(1-1)より、

:<math>\mathbf{f}(x_1,\dots,x_n)=\left( \begin{matrix}
   f_1(x_1,\dots, x_n)  \\
   \vdots  \\
   f_m(x_1,\dots, x_n)  \\
\end{matrix} \right)
= \sum\limits_{i=1}^{m} f_i(\mathbf{x}) \mathbf{e}_i</math>　　　　(1-13)

なので、<math>f_1,\cdots, f_m</math> すべてが <math>\textbf{p}</math> で <math>\textbf{a}</math> について偏微分可能であれば、<math>\textbf{f}</math> も微分可能で、

:<math>{{\left. {{\partial }_{[\mathbf{a}]}}\mathbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}}=\left( \begin{matrix}
   {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_1 \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
   \vdots   \\
   {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_m \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
\end{matrix} \right)</math>　　(1-14)

が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。

===一変数関数の微分への帰着===
(1-6) の各成分、つまり <math>{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_i \right|}_{[\mathbf{p}]}</math> は、それぞれ、(1-15) に示す ''t'' についての一変数[[スカラー]]値関数

:<math>f_i {}^\circ l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]} (t) = f_i(t \mathbf{a} + \mathbf{p})</math>　　　　　　(1-15)

を、''t'' = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、

:<math>{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} f_i \right|}_{[\mathbf{p}]} 
= {\left. \frac{d(f_i {}^\circ l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]})}{dt} \right|}_{t=0} 
= {\left. \frac{d f_i(t\mathbf{a}+\mathbf{x}_0)}{dt} \right|}_{t=0}</math>　　　　　　(1-16)

である。但し、<math>l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}</math> は、

:<math>l_{[\mathbf{a}, \mathbf{p}]}(t) = t\mathbf{a} + \mathbf{p}</math>　　(1-17)

で定まる <math>\mathbb{R}^n</math> の直線である。
また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。
 
===記号「∂f/∂x<sub>j</sub>」について===
<math>\textbf{f}</math> の点 <math>\mathbf{p}</math> における「（<math>\mathbb{R}^n</math>の）
ベクトル <math>\mathbf{e}_j</math>」に対する偏微分商、即ち <math>\partial_{[\mathbf{e}_j]} \mathbf{f}[\mathbf{p}]</math> を、
<math>{\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]}</math> 
と書く。 即ち、

:<math>{\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]}
= \partial_{[\mathbf{e}_{j}]} \mathbf{f}[\mathbf{p}] 
= \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,
\frac{\textbf{f}(t\mathbf{e}_{i}+\mathbf{p})-\textbf{f}(\mathbf{p})}{t}</math>  (1-18)

と表記する。

また、<math>\textbf{f}</math> の第 ''i'' 成分、つまり <math>{{f}_{i}}</math> の点 <math>\mathbf{p}</math> における「（<math>\mathbb{R}^n</math> の）ベクトル <math>\mathbf{e}_j</math>」に対する偏微分商 <math>\partial_{[\mathbf{e}_{j}]} f_i[\mathbf{p}]</math> を、<math>{\left. \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]}</math> と表記する。

ここで、<math>\textbf{e}_{1}\,\cdots ,\textbf{e}_{n}</math> は、それぞれ <math>\mathbb{R}^n</math> 標準基底であり、<math>\textbf{e}_j</math> は、第 ''j'' 標準ベクトルを意味する。

===ヤコビ行列の導入===
<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> において、<math>\textbf{e}_1\,\cdots ,\textbf{e}_n</math> 全てに対して偏微分可能であるとき、

<math>{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]} = \left( \begin{matrix}
   {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]} 
   & \cdots
   & {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
   & \vdots & \\
   {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]} 
   & \cdots
   & {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
\end{matrix} \right)</math>　　　　(1-20)

を <math>\textbf{f}</math> の <math>\mathbf{p}</math> におけるヤコビ行列という。

==微分==
===設定===
<math>\textbf{D}</math> を <math>\mathbb{R}^n</math> の開集合とし、

:<math>\textbf{f}(\mathbf{x})=\left( \begin{matrix}
   f_1(\mathbf{x})  \\
   \vdots   \\
   f_m(\mathbf{x})  \\
\end{matrix} \right)</math>　　　　(2-1)

を、<math>\textbf D</math> 上で定義された <math>\mathbb{R}^m</math> に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

===微分の定義===
<math>\textbf{p}</math> を <math>\textbf D</math> 内の点とする（つまり <math>\textbf{p}\in\textbf{D}</math>）。このとき、<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で微分可能であるとは、

:<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\left( \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x})-\left( \mathbf{A}(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)=0</math>　　　　(2-2)

を充たす <math>n\times m</math> 行列 <math>\textbf{A}</math> が存在することを意味する。この <math>\textbf{A}</math> を、<math>\textbf{f}</math> の <math>\textbf{p}</math> における微分という。

<math>\textbf x -\textbf p=\textbf h</math> とおくと、次のようにも表せる。

<math>\quad \ \displaystyle \lim_{\textbf h \to \textbf 0} \dfrac{ \| f( \textbf p + \textbf h)-f( \textbf p)-A \textbf h \|}{|| \textbf h ||}=0</math>

===微分の一意性===
<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で微分可能であるとき、(2-2) を満たす <math>n\times m</math> 行列はひとつしか存在しない。つまり、<math>n\times m</math> 行列 <math>\textbf{B}</math> が、

:<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\,\left( \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x})-\left( \mathbf{B}(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)=0</math>　　　　(2-3)

を満たすとすると、

:<math>\textbf{A}=\textbf{B}</math>　　　　(2-4)

が成立する。

===微分可能性と偏微分可能性===
<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で微分可能であるとき、<math>\textbf{f}</math> は <math>\textbf{p}</math> で任意のベクトル <math>\textbf{a}</math> に対して偏微分可能である。実際、

::<math>\begin{align}
&\left( \frac{\mathbf{f}(t\mathbf{a}+\mathbf{p})-\mathbf{f}(\mathbf{p})}{t} \right)-\mathbf{A}\cdot \mathbf{a}\\
&=\, \left( \frac{\textbf{f}(t\mathbf{a}+\mathbf{p})-\left( \mathbf{A}\cdot \left( \left( t\mathbf{a}+\mathbf{p} \right)-\mathbf{p} \right)+\textbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \left( t\mathbf{a}+\mathbf{p} \right)-\mathbf{p} \right\|} \right)\left\| \mathbf{a} \right\|
\end{align}</math>　　(2-5)

ここで、

:<math>\,\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\left( \frac{\textbf{f}(t\mathbf{a}+\mathbf{p})-\left( \mathbf{A}\cdot \left( \left( t\mathbf{a}+\mathbf{p} \right)-\mathbf{p} \right)+\textbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \left( t\mathbf{a}+\mathbf{p} \right)-\mathbf{p} \right\|} \right)</math>　　　　(2-6)

は、(2-2) に <math>\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{a}</math> を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の <math>t\to 0</math> 極限は 0 となる。従って、

:<math>\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\,\,\frac{\textbf{f}(t\mathbf{a}+\mathbf{p})-\textbf{f}(\mathbf{p})}{t}=\mathbf{A}\cdot \mathbf{a}</math>　　　　(2-7)

となる。以上より <math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で微分可能であるとき、<math>\textbf{f}</math> は <math>\textbf{p}</math> で <math>\mathbb{R}^n</math> の任意のベクトル <math>\textbf{a}</math> に対して偏微分可能であることが示された。

式 (1-5), (2-6) から、<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で微分可能ならば

:<math>{\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}
=\mathbf{A}\cdot \mathbf{a}</math>　　　　(2-8)

であることが分かる。

===ヤコビ行列の導入===
式 (1-2-8) に <math>\textbf{e}_1\,\cdots ,\textbf{e}_n</math> を代入すると、

:<math>{\left. \frac{\partial \textbf{f}}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{e}_j</math>　　　　(2-9)

である。従って <math>\textbf{f}</math>の <math>\textbf{p}</math> での微分 <math>\textbf{A}</math> の第 ''j'' 列は、

:<math>{{\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial {{x}_{j}}} \right|}_{[\mathbf{p}]}}</math>　　　　(2-10)

第 ''i'' , ''j'' 成分は

:<math>{\left. \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right|}_{[\mathbf{p}]}</math>　　　　(2-11)

となる。従って、

:<math>\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}
   {\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]} 
 & \cdots  
 & {\left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}
\end{matrix} \right)
= \left( \begin{matrix}
   {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]}
 & \cdots
 & {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
   & \vdots & \\
   {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]}
 & \cdots
 & {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
\end{matrix} \right)
={{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]}}</math>　　　　(2-12)

となる。

===誤差項の導入===
「誤差項」の導入を行う。
<math>\textbf{f}</math> と <math>\textbf{p}</math> に対し、<math>\textbf{f}</math> の <math>\textbf{p}</math> における誤差項（[[ランダウの記号]]）<math>{\textbf{o}}_{[\textbf{f},\textbf{p}]}</math> を

<math>\mathbf{o}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x})
= \mathbf{f}(\mathbf{x})-\left( {(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right)</math>　　　　(2-13)

によって定める。

<math>\underset{\textbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,{\mathbf o}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}=\mathbf{0}</math>　　　　(2-14)

<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{\mathbf o}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x})}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}=\mathbf{0}</math>　　　　(2-15)

であることが分かる。

(2-14) は、以下の恒等式

<math>\mathbf{f}(\mathbf{x})={(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p})+{\mathbf o}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x})</math>　　　　(2-16)

の <math>\textbf{x}</math> に <math>\textbf{p}</math> を代入すれば直ちに得られる。
(2-16) の恒等式ことを、本記事では <math>\textbf{f}</math> の点 <math>\textbf{p}</math> における一次展開ということにする。
(2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、<math>{\textbf{o}}_{[\textbf{f},\textbf{p}]}</math> が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。

(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は <math>\textbf{f}</math> の一次近似を表していると見ることができる。
つまり、点 <math>\textbf{p}</math> の近傍で <math>\textbf{f}</math> は

<math>\mathbf{f}(\mathbf{x}) \simeq \mathbf{f}(\mathbf{p})+{{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]}}(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p})</math>　　　　(2-17)

とみなせることが分かる。

==微分に関するいくつかの公式==
===偏微分の「方向」に関する公式===
式 (2-8) から、<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で微分可能であるとき、<math>\textbf{f}</math> は <math>\textbf{p}</math> において <math>\mathbb{R}^n</math> の任意のベクトル <math>\textbf{a}</math>, <math>\textbf{b}</math> と、任意の実数 <math>\lambda , \mu</math> に対して、

<math>{\left. \partial_{\left[ \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} \right]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{x}]}
=\lambda \left( {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{x}]} \right) + \mu \left( {\left. \partial_{[\mathbf{b}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{x}]} \right)</math>　　　　(3-1)

が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、

<math>\begin{align}
&{\left. \partial_{[\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]}={(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})
&=\lambda {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\mathbf{a}) + \mu {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\mathbf{b})
&=\lambda \left( {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]} \right) + \mu \left( {\left. \partial_{[\mathbf{b}]} \textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]} \right)
\end{align}
</math>
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)

である。

また、(2-8) から、<math>\textbf{f}</math> が <math>\textbf{p}</math> で微分可能であるとき、<math>\textbf{f}</math> は <math>\textbf{p}</math> で <math>{\mathbb{R}^{n}}</math> の任意のベクトル <math>\textbf{a}</math> に対して、

<math>\begin{align}
&{\left. \partial_{[\mathbf{a}]}\textbf{f} \right|}_{[\mathbf{p}]} = {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]} \mathbf{a}
=\left( \begin{matrix}
   {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]}
 & \cdots
 & {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}  \\
   & \ddots  & \\
   {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \right|}_{[\mathbf{p}]}
 & \cdots
 & {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \right|}_{[\mathbf{p}]}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
   a_1  \\
   \vdots   \\
   a_n  \\
\end{matrix} \right)\\
&=\sum\limits_{j=1}^n a_i \left( {\left. \frac{\partial \textbf{f}}{\partial x_j} \right|}_{\mathbf{p}} \right)
\end{align}</math>
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)

が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

===アフィン写像の微分===
次に、[[アフィン写像]]の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な ''m×n'' 行列 '''A''' と、''n'' 次元代数数ベクトル '''b''' を用いて

<math>T(\textbf{x})=\textbf{A}\textbf{x}+\textbf{b}</math>　　(3-4)

の形で具体的な数式として書ける、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>から<math>{\mathbb{R}^{m}}</math>への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（<math>{\mathbb{R}}^{n}</math>の点）<math>\textbf{p}</math>で微分可能で、任意の点（<math>{\mathbb{R}}^{n}</math>の点）<math>\textbf{p}</math>において、

<math>{{(JT)}_{[\mathbf{p}]}}=\textbf{A}</math>　　(3-5)

である。逆に、任意の点<math>\textbf{p}</math>において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

===合成写像の微分===
次に、合成写像の微分について説明する。<math>\textbf{E}</math>を<math>{\mathbb{R}^{m}}</math>の開集合とし、<math>\textbf{E}</math>は、<math>\textbf{f}</math>の値域を含む（つまり、<math>\textbf{f}(\textbf{D})\subset\textbf{E}</math>、特に<math>\textbf{f}(\textbf{p})\in\textbf{E}</math>とする）とする。多変数ベクトル値関数
<math>\mathbf{g}(\mathbf{y})=\left( \begin{matrix}
   {{g}_{1}}(\mathbf{y})  \\
   \vdots   \\
   {{g}_{m}}(\mathbf{y})  \\
\end{matrix} \right)</math>　　　　(3-6)

は、<math>\textbf{E}</math>で定義され、<math>{{\mathbb{R}}^{l}}</math>に値をとるとする。このとき、<math>\mathbf{g}</math>と<math>\textbf{f}</math>との合成写像<math>\mathbf{g}\circ \textbf{f}</math>は、<math>\textbf{D}</math>で定義され、<math>{{\mathbb{R}}^{l}}</math>に値をとる多変数ベクトル値関数である。

<math>\textbf{f}</math>が点<math>\textbf{p}</math>で微分可能で、<math>\mathbf{g}</math>が、点<math>\mathbf{f}(\mathbf{p})</math>で微分可能であるとき、<math>\mathbf{g}\circ \textbf{f}</math>も<math>\textbf{p}</math>で微分可能で、

<math>{{\left( J\left( \textbf{g}\circ \mathbf{f} \right) \right)}_{[\textbf{p}]}}</math>=<math>{{\left( J\mathbf{g} \right)}_{[\textbf{f}(\mathbf{p})]}}</math><math>\cdot{(J\textbf{f})}_{{\textbf{p}}}</math>　　　　(3-7)

ここで“<math>\cdot</math>”とは、行列としての積である。

■証明<br>
<math>\textbf{f}</math>を点<math>\textbf{p}</math>で一次展開し、
<math>\textbf{g}</math>を点<math>\mathbf{f}(\mathbf{p})</math>で(2-16)同様に一次展開すると、

<math>\mathbf{f}(\mathbf{x})</math><math>={{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]}}\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p})+{{\mathbf{o}}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})</math>　　　　(3-8)

<math>\mathbf{g}(\mathbf{y})</math><math>={{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot (\mathbf{y}-\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+{{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\textbf{f}(\mathbf{p}))</math>　　　　(3-9)

となるので、

<math>\mathbf{g}\circ \textbf{f}(\textbf{x})</math>
<math>=\mathbf{g}(\textbf{f}(\textbf{x}))</math>
<math>={{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot (\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+{{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\textbf{f}(\mathbf{p}))</math>

<math>={{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot ({{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]}}\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+{{\mathbf{o}}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x}))</math>

<math>+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+{{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))</math>

<math>={{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot {{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]}}\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+{{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})</math><math>+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+{{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))</math>

<math>={{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot {{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]}}\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})
+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))</math>
<math>+{{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+{{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})</math>
　　　　(3-10)

である。従って

<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+{{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}\,=0</math>　　　　(3-11)

を示すを示せば終証である。

以下(3-11)を示す。

<math>\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}</math>
<math>=\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|} \right)</math>
<math>\,=\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)\,</math>
　　　　(3-12)

より、
<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}</math><math>\,=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)\,</math>　　　　(3-13)

一方、

<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}</math>=<math>\underset{\mathbf{f}(\mathbf{x})\to \mathbf{f}(\mathbf{p})}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}</math>　　　　(3-14)

は、

<math>\underset{\mathbf{y}\to \mathbf{f}(\mathbf{p})}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{y}-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}</math>　　　　(3-15)

の特殊なケースに過ぎないので、

<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}=0</math>　　　　(3-16)

さらに、

<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\|}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)\,</math>　　　　(3-17)

は有限の値であることから、

<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{\left( {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}=0</math>　　　　(3-18)

また、

<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\,\frac{\left( {{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}=0</math>　　　(3-19)

は、

<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{\left( {{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\cdot {{\mathbf{o}}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|}</math><math>=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\left( {{(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}\left( \frac{{{\mathbf{o}}_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)\, \right)</math>
　　　　(3-20)

であることと、線形写像の連続性から明らかである。

<div align=right>■</div>

(3-7)を行列として具体的に表記すると

<math>{{\left( J\left( \textbf{g}\circ \mathbf{f} \right) \right)}_{[\textbf{p}]}}</math>=<math>\left( \begin{matrix}
   {{\left. \frac{\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}} \right|}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}} & \cdots  & {{\left. \frac{\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{m}}} \right|}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}  \\
   \vdots  & \vdots  & \vdots   \\
   {{\left. \frac{\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{1}}} \right|}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}} & \cdots  & {{\left. \frac{\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{m}}} \right|}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}  \\
\end{matrix} \right)</math>
<math>\left( \begin{matrix}
   {{\left. \frac{\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}} \right|}_{[\mathbf{p}]}} & \cdots  & {{\left. \frac{\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{n}}} \right|}_{[\mathbf{p}]}}  \\
   \vdots  & \vdots  & \vdots   \\
   {{\left. \frac{\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{1}}} \right|}_{[\mathbf{p}]}} & \cdots  & {{\left. \frac{\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{n}}} \right|}_{[\mathbf{p}]}}  \\
\end{matrix} \right)</math>(3-21)

となる。これから、

<math>{{\left. \frac{\partial {{(\mathbf{f}\circ \mathbf{g})}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}} \right|}_{[\textbf{p}]}}={{\sum\limits_{k=1}^{m}{\left. \frac{\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}} \right|}}_{[\textbf{f}(\textbf{p})]}}{{\left. \frac{\partial {{g}_{k}}}{\partial {{x}_{j}}} \right|}_{[\textbf{p}]}}</math>(3-22)

が分かる。

===合成写像の偏微分===
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。

<math>{{\left. {{\partial }_{[\mathbf{a}]}}{{f}_{i}} \right|}_{[\mathbf{p}]}}=</math><math>{{\left. \frac{d({{f}_{i}}{}^\circ {{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}})}{dt} \right|}_{t=0}}</math>
　　　　　　(3-23)

(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、

<math>{{\left. \frac{d({{f}_{i}}{}^\circ {{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}})}{dt} \right|}_{t=s}}={{(J{{f}_{i}})}_{{{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}}}}{{\left( {{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}} \right)}_{s}}</math>
<math>=\left( {{\left. \frac{\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{1}}} \right|}_{[{{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}}]}},\cdots ,{{\left. \frac{\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{n}}} \right|}_{[{{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}}]}} \right)</math>
<math>s\textbf{a}</math>
<math>={{\sum\limits_{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left. \frac{\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}} \right|}}_{[s\mathbf{a}+\mathbf{b}]}}</math>　　　(3-24)

以上より、

<math>{{\left. {{\partial }_{[\mathbf{a}]}}{{f}_{i}} \right|}_{[\mathbf{p}]}}=</math><math>{{\sum\limits_{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left. \frac{\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}} \right|}}_{[s\mathbf{a}+\mathbf{b}]}}</math>　　　　　　(3-25)

===逆写像の微分===
次に、（弱いほうの）[[逆写像定理]]（逆関数定理）を示す。<math>\textbf{E}</math>を<math>{\mathbb{R}^{m}}</math>の開集合とし、<math>\textbf{E}</math>は、<math>\textbf{f}</math>の値域を含む（つまり、<math>\textbf{f}(\textbf{D})\subset\textbf{E}</math>、特に<math>\textbf{f}(\textbf{p})\in\textbf{E}</math>とする）とする。多変数ベクトル値関数

<math>\mathbf{g}(\mathbf{x})=\left( \begin{matrix}
   {{g}_{1}}(\mathbf{x})  \\
   \vdots   \\
   {{g}_{m}}(\mathbf{x})  \\
\end{matrix} \right)</math>　(3-26)

は、<math>\textbf{E}</math>で定義され、<math>{{\mathbb{R}}^{m}}</math>に値をとるとする。さらに、<math>\textbf{g}</math>が<math>\textbf{f}</math>の逆写像、つまり

<math>\mathbf{g}=</math><math>{{\mathbf{f}}^{-1}}</math>　(3-27)

とする。このとき、

<math>{{(J{{\mathbf{f}}^{-1}})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}}={{\left( {{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]}} \right)}^{-1}}</math>　(3-28)

が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。
これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。

==導関数の導入==
これまでの議論では、一点<math>\textbf{p}</math>を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数<ref name=shima/>を定義する。

<math>\textbf D</math>を、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の[[開集合]]とし、

<math>\mathbf{f}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})=\left( \begin{matrix}
   {{f}_{1}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})  \\
   {\vdots}  \\
   {{f}_{m}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})  \\
\end{matrix} \right)</math>　　　　(4-1)

を、<math>\textbf D</math>上で定義され、<math>{\mathbb{R}^{m}}</math>に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

<math>\textbf{a}</math>を、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の固定されたベクトルとする。（<math>\textbf{a}\notin\textbf D</math>でもよい。）このとき、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、<math>\textbf{a}</math>について偏微分可能である」とは<math>\textbf D</math>内の全ての点において、(4-1)の意味で<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf{a}</math>について偏微分可能であることを意味する。このとき「<math>\textbf{f}</math>の<math>\textbf{a}</math>についての偏導関数<math>{{\partial }_{[\mathbf{a}]}}\mathbf{f}</math>」とは、「<math>\textbf D</math>の点<math>\textbf{x}</math>と<math>\textbf{x}</math>における偏微分商<math>{{\left. {{\partial }_{[\mathbf{a}]}}\mathbf{f} \right|}_{\textbf{x}}}</math>を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、

<math>{{\partial }_{[\mathbf{a}]}}\mathbf{f}(\textbf{x})=</math>
<math>{{\left. {{\partial }_{[\mathbf{a}]}}\mathbf{f} \right|}_{\textbf{x}}}</math>　　　　(4-2)

である。特に

<math>{{\partial }_{[\mathbf{e}_{j}]}}\mathbf{f}(\textbf{x})=</math><math>\left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial {{x}_{j}}} \right)(\textbf{x})</math>　　　　(4-3)

とする。

「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、微分可能である」とは、「<math>\textbf D</math>内の全ての点において、(2-2)の意味で<math>\textbf{f}</math>が微分可能」であることを意味する。

このとき「<math>\textbf{f}</math>の<math>\textbf D</math>における導関数<math>{{\mathbf{f}}^{'}}</math>」とは、「<math>\textbf D</math>の点<math>\textbf{x}</math>と<math>\textbf{x}</math>における微分<math>{{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{x}]}}</math>を対応させる行列値の関数」である<ref name=shima/>。つまり、

<math>{\mathbf{f}}'(\mathbf{x})=</math><math>{{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{x}]}}</math>　　　　(4-4)

である<ref name=shima/>。<math>{{\mathbf{f}}'}</math>のことを<math>J\mathbf{f}</math>や、<math>T\mathbf{f}</math>と書くこともある。
尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、<math>d\textbf{f}</math>は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。

また、(4-5)から、直ちに「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、微分可能」ならば、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、任意の<math>\textbf{a}</math>について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、任意の<math>\textbf{a}</math>について偏微分可能」であっても、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、微分可能」とは限らない。

「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、連続微分可能である」とは、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、<math>{{\mathbf{e}}_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf{e}}_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf{e}}_{n}}</math>全てについて偏微分可能であり、かつ<math>{{\mathbf{e}}_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf{e}}_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf{e}}_{n}}</math>についての偏導関数がすべて<math>\textbf D</math>で、連続であること」を意味する。

一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、連続微分可能」ならば「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、微分可能」であるものの、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、微分可能」であっても、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、連続微分可能」とは限らない。

但し、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で微分可能であり、導関数が<math>\textbf D</math>で、連続」ならば、「<math>\textbf{f}</math>は<math>\textbf D</math>で、連続微分可能」である。

==全微分==
<math>\mathbb{R}^n</math> に <math>\langle \textit{x}_1, \cdots , \textit{x}_n \rangle</math> 座標系が定まっているとする。
式 (1-14) の <math>\textit{x}_1, \cdots, \textit{x}_n</math> は全て <math>\mathbb{R}^n</math> から <math>\mathbb{R}</math> への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に

<math>\textit{x}_i' (\mathbf{x}) = {}^{t} \mathbf{e}_i</math>　　　　(5-1)

である。ここで <math>{}^{t}</math> は転置を意味する。すなわち <math>{}^{t}{\textbf{e}}_{i}</math> とは、第 ''i'' 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 ''n'' 列の行列（横ベクトル）である。

式 (4-4) より <math>\mathbf{f}'(\mathbf{x})</math> は、

<math>\mathbf{f}'(\mathbf{x}) 
= \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} \right)(\mathbf{x}),\cdots ,\left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \right)(\mathbf{x}) \right)</math>
　　　　(5-2)

で定まる[[行列値関数]]であるため、

<math>\mathbf{f}'(\mathbf{x}) 
= \sum\limits_{i=1}^n \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_i} \right)(\mathbf{x}) \right){\ }^{t}\mathbf{e}_i</math>　　　　(5-3)

であり、

<math>\mathbf{f}'(\mathbf{x})
= \sum\limits_{i=1}^n \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_i} \right)(\mathbf{x}) \right)
\left( r_i'(\mathbf{x}) \right)</math>　　　　(5-4)

がわかる。ここで、<math>\mathbf{f}'</math> を <math>d\mathbf{f}</math>、<math>x_i'</math> を <math>d x_i</math> と書くと、

<math>d\mathbf{f}(\mathbf{x})
=\sum\limits_{i=1}^n \left( \left( 
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_i} 
\right)(\mathbf{x}) \right) 
\left( d x_i(\mathbf{x}) \right)</math>　　　　(5-5)

となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、

<math>d\mathbf{f} = \sum\limits_{i=1}^n \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_i} \right)d x_i</math>　　　　(5-6)

となる。

==微分の“逆問題”==
===スカラーポテンシャルの定義===
<math>\textbf D</math>を、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の[[開集合]]とし、

<math>A=({{a}_{11}},\cdots ,{{a}_{1n}})</math>　　(6-1-1)

を、<math>\textbf D</math>上で定義された1行n列の[[行列値関数]]とする。[[行列値関数]]とは、
各成分が関数である行列のことを意味する。

式(6-1-1)の<math>A</math>に対し、

<math>{f}(x)=A</math>　　(6-1-2)

を充たす、一変数スカラー値関数<math>{f}</math>を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、<math>A</math>のスカラーポテンシャルという。

以下、1行n列の行列値関数<math>A</math>があたえられたとき、<math>A</math>のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる<ref name=poin  group="注">正確にはポアンカレの補助定理（ポアンカレの補題）の微分一形式版と等価な命題を述べる。「補助定理」、「補題」の名とは裏腹に、ポアンカレの補助定理は、本節の最終目標である。ポアンカレの補助定理の証明には、ストークスの定理が補題として必要としている本もあるが、積分経路自体の取り方が、各点ごとに決まっている本記事の流儀では、ストークスの定理は不要である。積分に関して必要な予備知識は、一変数関数の積分（数Ⅲ程度）に限られる。</ref>。

===偏導関数に関する「微積分学の基本定理」===
<math>\textbf D</math>を、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の[[開集合]]とし、<math>h</math>を<math>\textbf D</math>上で定義された多変数スカラー値関数とする。

<math>\textbf{p}</math>を、<math>\textbf D</math>内の点とする。（つまり、<math>\textbf{p}\in\textbf{D}</math>）<math>\textbf{a}</math>を、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>のベクトルとする。（<math>\textbf{a}\notin\textbf D</math>でもよい。）
このとき、

<math>\int_{s=0}^{s=1}{\left( \left( {{\partial }_{[\mathbf{a}]}}h \right)(s\mathbf{a}+\mathbf{p}) \right)ds}</math>=<math>h(\mathbf{a}+\mathbf{p})-h(\mathbf{p})</math>　　(6-2-1)

が成立する。但し、<math>0\le s \le 1</math>を充たす全ての<math>s</math>に対して、
<math>(s\mathbf{a}+\mathbf{p})\in \textbf{D}</math>　　(6-2-2)
が成り立っているものとする。

以下、(6-2-1)を示す。まず、

<math>h\circ l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}(s)=h(s\mathbf{a}+\mathbf{p})</math>　　　　　　(6-2-3)

で、
<math>{{\partial }_{[\mathbf{a}]}}h(\mathbf{x})=</math><math>\left( \frac{d(h{}^\circ {{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}})}{ds} \right)</math>　　　　　　(6-2-4)
である。但し、<math>{{l}_{[\mathbf{a},{{\mathbf{p}}}]}}</math>は、(1-9)同様、

<math>{{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}}(s)=s\mathbf{a}+\mathbf{p}</math>　　(6-2-5)

である。

(6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、

<math>\int_{s=0}^{s=1}{\left( \frac{d(h{}^\circ {{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}})}{ds} \right)ds}</math>=
<math>\left[ h(s\mathbf{a}+\mathbf{p}) \right]_{s=0}^{s=1}</math>　　(6-2-5)

従って、(6-2-1)が分かる。

===ポアンカレの補助定理の準備===
(6-1-1)の<math>A</math>に対し、作用積分<math>{{U}_{[A,\mathbf{p}]}}</math>を定義する。

<math>\mathbf{p}=\left( \begin{matrix}
   {{p}_{1}}  \\
   \vdots   \\
   {{p}_{n}}  \\
\end{matrix} \right)</math>　　(6-3-1)

を<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の点とする。また、<math>\textbf D</math>を、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の[[開集合]]とし、さらに<math>\textbf D</math>が<math>\textbf{p}</math>を中心に星型とする。

<math>\textbf D</math>が<math>\textbf{p}</math>を中心に星型とは、任意の<math>\textbf D</math>の点<math>\textbf{x}</math>と、任意の<math>s\in[0,1]</math>に対し、

<math>s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p}\in \textbf{D}</math>　　(6-3-2)

であることを意味する。

<math>\textbf{p}</math>は固定されているものとする。また、

<math>\textbf{x}</math><math>=\left( \begin{matrix}
   {{x}_{1}}  \\
   \vdots   \\
   {{x}_{n}}  \\
\end{matrix} \right)</math>　　(6-3-3)

も固定されていると考える。

式(6-1-1)の、<math>\textbf D</math>上で定義された1行n列の行列値関数<math>A</math>に対し、<math>{{\left. {{U}_{[A,\mathbf{p}]}} \right|}_{\mathbf{x}}}</math>を

<math>{{\left. {{U}_{[A,\mathbf{p}]}} \right|}_{\mathbf{x}}}</math>=<math>\int_{s=0}^{s=1}{\left( A(s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p})\centerdot \left( \begin{matrix}
   {{x}_{1}}-{{p}_{1}}  \\
   \vdots   \\
   {{x}_{n}}-{{p}_{n}}  \\
\end{matrix} \right) \right)ds}</math>　　(6-3-4	)

と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数

<math>A(s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p})\centerdot \left( \begin{matrix}
   {{x}_{1}}-{{p}_{1}}  \\
   \vdots   \\
   {{x}_{n}}-{{p}_{n}}  \\
\end{matrix} \right)</math>　　(6-3-5)

は、<math>s</math>についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　<math>{{U}_{[A,\mathbf{p}]}}</math>を、点<math>\textbf{x}</math>と、
実数<math>{{\left. {{U}_{[A,\mathbf{p}]}} \right|}_{\mathbf{x}}}</math>を対応させる多変数スカラー値関数

<math>{{U}_{[A,\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})</math><math>{{\left. ={{U}_{[A,\mathbf{p}]}} \right|}_{\mathbf{x}}}</math>　　(6-3-6)

とする。以降、点<math>\textbf{x}</math>は、変数とみなす。

==脚注==
===注釈===
{{reflist|group="注"}}
===引用===
{{reflist|2}}

==参考文献==
*{{cite book|和書|author=Michael Spivak|others=齋藤 正彦 (訳)|title=多変数の解析学―古典理論への現代的アプローチ|publisher=東京図書|edition=新装版|year=2007|month=4|ref=Spivak}} 
*{{cite book|和書|author=岩堀 長慶, 他|title=微分積分学|publisher=裳華房|year=1993|ref=Iwahori}}
*{{cite book|和書|author=島 和久|title=多変数の微分積分学|publisher=近代科学社|year=1991|month=9|ref=Shima}}
*{{cite book|author=Frank W. Warner|title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer New York|year=2010|ref=Warner}}

{{DEFAULTSORT:たへんすうのひふん}}
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