多変数の微分

テンプレート:複数の問題 多変数の微分（たへんすうのびぶん）は、多変数関数を、局所的に線形写像（ヤコビ行列）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。

数ベクトル空間についての補足

数ベクトル空間

n 次元実数ベクトル空間 ${ℝ}^n$ とは、集合としては

${ℝ}^n=\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)|\begin{array}{c}{x}_1,\cdots ,x_n\in ℝ\end{array}\}$　　　　　　　　(1-2)

である。つまり n 個の実数 $x_1,\cdots ,x_n$ を用いて

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$　　(1-3)

の形で表せるもの全てを集めてきたものである。 特に、以下で定まる ${𝐞}_i$ を、第 i 標準ベクトルという。

${𝐞}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,{𝐞}_n=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$　　　　(1-8)

である。

標準座標系

次に ${ℝ}^n$, ${ℝ}^m$ の標準座標系を定義する。${ℝ}^n$ に対し、

${\mathit{\text{r}}}_j(𝐱)=⟨𝐱|{𝐞}_j⟩$　　　　(1-6)

とし、これを ${ℝ}^n$ の第 j 座標関数という。ここで $⟨\cdot |\cdot ⟩$ は内積を表す。つまり、

${\mathit{\text{r}}}_j\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\right)=x_j$　　　　(1-7)

である。 ${ℝ}^n$ 標準座標系とは、${\mathit{\text{r}}}_1,{\mathit{\text{r}}}_2,\cdots ,{\mathit{\text{r}}}_n$ の組 $⟨{\mathit{\text{r}}}_1,{\mathit{\text{r}}}_2,\cdots ,{\mathit{\text{r}}}_n⟩$ のことである。当然、

$\mathbf{\text{x}}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\sum _{j=1}^n{r}_j(𝐱){\mathbf{\text{e}}}_j$　　　　(1-9)

が成立する。${ℝ}^m$ にも、同様に、${𝐞}_1\cdots ,{𝐞}_m$ や、標準座標系 $⟨{\mathit{\text{r}}}_1,{\mathit{\text{r}}}_2,\cdots ,{\mathit{\text{r}}}_m⟩$ が定まっている。

さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 (${ℝ}^n$) の標準座標系を $⟨{\mathit{\text{r}}}_1,{\mathit{\text{r}}}_2,\cdots ,{\mathit{\text{r}}}_n⟩$ と表記し、値域側 (${ℝ}^m$) の標準座標系も $⟨{\mathit{\text{r}}}_1,{\mathit{\text{r}}}_2,\cdots ,{\mathit{\text{r}}}_m⟩$ と表記していては紛らわしいので、${ℝ}^n$ の標準座標系を $⟨{\mathit{\text{x}}}_1,{\mathit{\text{x}}}_2,\cdots ,{\mathit{\text{x}}}_n⟩$と書くことにする。つまり、

$\begin{array}{cc}& x_j(𝐱)=r_j(𝐱)\\ & y_i(𝐲)=r_i(𝐲)\end{array}$　　　　(1-10)

とする。 以降、「${ℝ}^n$ に、標準座標系 $⟩x_1,\cdots ,x_n⟨$ が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。

多変数ベクトル値関数

${ℝ}^n$ に標準座標系 $⟨{\mathit{\text{x}}}_1,\cdots ,{\mathit{\text{x}}}_n⟩$ が定まっているとし、${ℝ}^m$ に標準座標系 $⟨{\mathit{\text{y}}}_1,\cdots ,{\mathit{\text{y}}}_m⟩$が定まっているとする。

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$ を ${ℝ}^n$ の部分集合とし、

$𝐟(x_1,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right)$　　　　(1-1)

を、$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$ 上で定義された ${ℝ}^m$ に値を取る多変数ベクトル値関数という。

以降 $f_i$ は $\mathbf{\text{f}}$ の第 i 成分を表す。$f_i$ は以下の性質を満たす。

$f_i(𝐱)=y_i\circ 𝐟(𝐱)=y_i(𝐟(𝐱))=⟨{𝐞}_i|𝐟(𝐱)⟩$　　　　(1-11)

$𝐟(x_1,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right)=\sum _{i=1}^m{f}_i(𝐱){𝐞}_i$

偏微分

設定

${ℝ}^n$ に、標準座標系 $⟨{\mathit{\text{x}}}_1,\cdots ,{\mathit{\text{x}}}_n⟩$ が定まっているとし、${ℝ}^m$ に、標準座標系 $⟨{\mathit{\text{y}}}_1,\cdots ,{\mathit{\text{y}}}_m⟩$ が定まっているとする。 $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$ を、${ℝ}^n$ の開集合とし、

$𝐟(x_1,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right)$　　　　(1-1)

を、$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$ 上で定義された ${ℝ}^m$ に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 ここで $f_i$ は $\mathbf{\text{f}}$ の第 i 成分を表す。

偏微分の定義

$\mathbf{\text{p}}$ を $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$ 内の点とし、$\mathbf{\text{a}}$ を ${ℝ}^n$ のベクトルとする（$\mathbf{\text{p}}$ は $\mathbf{\text{p}}\in \mathbf{\text{D}}$ でなければならないが $\mathbf{\text{a}}$ は $\mathbf{\text{a}}\notin \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$であってよい）。

$\mathbf{\text{p}}$, $\mathbf{\text{a}}$ は固定されているものとする。

このとき、$\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で $\mathbf{\text{a}}$ について偏微分可能であるとは、以下の極限値

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{𝐟(𝐩+t𝐚)-𝐟(𝐩)}{t}$　　　　(1-4)

が存在することを意味する。

このとき $\mathbf{\text{f}}$の$\mathbf{\text{p}}$における、$\mathbf{\text{a}}$ について偏微分商、 ${{\partial }_{[𝐚]}𝐟|}_{[𝐩]}$ を、以下のように定義する。

${{\partial }_{[𝐚]}𝐟|}_{[𝐩]}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{𝐟(𝐩+t𝐚)-𝐟(𝐩)}{t}$　　　(1-5)

成分関数の微分可能性

$\mathbf{\text{f}}$ の第 i 成分 $f_i$ は以下の等式を満たす。

$f_i(𝐱)=y_i\circ 𝐟(𝐱)=⟨{𝐞}_i|𝐟(𝐱)⟩$　　　　(1-11)

上式において $⟨\cdot |\cdot ⟩$ は内積を意味する。

式 (1-10), (1-11) を用いて、$f_i$ を（(1-5) の定義式通りに）$\mathbf{\text{p}}$ で $\mathbf{\text{a}}$ について偏微分することを考える。 $\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で $\mathbf{\text{a}}$ について偏微分可能ならば、$f_i$ は $\mathbf{\text{p}}$ で $\mathbf{\text{a}}$ について偏微分可能で、

$\begin{array}{cc}{{\partial }_{[𝐚]}{f}_i|}_{[𝐩]}& =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f_i(𝐩+t𝐚)-f_i(𝐩)}{t}\\ & ={\mathbf{\text{e}}}_i\cdot \left(\underset{t\to 0}{\lim }\left(\frac{𝐟(𝐩+t𝐚)-𝐟(𝐩)}{t}\right)\right)\\ & ={}^t{\mathbf{\text{e}}}_i\cdot {{\partial }_{[𝐚]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐩]}\\ & ={{\partial }_{[𝐚]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐩]}\cdot {\mathbf{\text{e}}}_i\end{array}$　　　　(1-12)

が成立する。

逆に、式(1-1)より、

$𝐟(x_1,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right)=\sum _{i=1}^m{f}_i(𝐱){𝐞}_i$　　　　(1-13)

なので、$f_1,\cdots ,f_m$ すべてが $\mathbf{\text{p}}$ で $\mathbf{\text{a}}$ について偏微分可能であれば、$\mathbf{\text{f}}$ も微分可能で、

${{\partial }_{[𝐚]}𝐟|}_{[𝐩]}=\left(\begin{array}{c}{{\partial }_{[𝐚]}{f}_1|}_{[𝐩]}\\ ⋮\\ {{\partial }_{[𝐚]}{f}_m|}_{[𝐩]}\end{array}\right)$　　(1-14)

が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。

一変数関数の微分への帰着

(1-6) の各成分、つまり ${{\partial }_{[𝐚]}{f}_i|}_{[𝐩]}$ は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数

$f_i{}^{\circ }{l}_{[𝐚,𝐩]}(t)=f_i(t𝐚+𝐩)$　　　　　　(1-15)

を、t = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、

${{\partial }_{[𝐚]}{f}_i|}_{[𝐩]}={\frac{d(f_i{}^{\circ }{l}_{[𝐚,𝐩]})}{dt}|}_{t=0}={\frac{d{f}_i(t𝐚+{𝐱}_0)}{dt}|}_{t=0}$　　　　　　(1-16)

である。但し、$l_{[𝐚,𝐩]}$ は、

$l_{[𝐚,𝐩]}(t)=t𝐚+𝐩$　　(1-17)

で定まる ${ℝ}^n$ の直線である。 また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。

記号「∂f/∂x_j」について

$\mathbf{\text{f}}$ の点 $𝐩$ における「（${ℝ}^n$の） ベクトル ${𝐞}_j$」に対する偏微分商、即ち ${\partial }_{[{𝐞}_j]}𝐟[𝐩]$ を、 ${\frac{\partial 𝐟}{\partial x_j}|}_{[𝐩]}$ と書く。 即ち、

${\frac{\partial 𝐟}{\partial x_j}|}_{[𝐩]}={\partial }_{[{𝐞}_j]}𝐟[𝐩]=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{\text{f}}(t{𝐞}_i+𝐩)-\mathbf{\text{f}}(𝐩)}{t}$ (1-18)

と表記する。

また、$\mathbf{\text{f}}$ の第 i 成分、つまり $f_i$ の点 $𝐩$ における「（${ℝ}^n$ の）ベクトル ${𝐞}_j$」に対する偏微分商 ${\partial }_{[{𝐞}_j]}{f}_i[𝐩]$ を、${\frac{\partial f_i}{\partial x_j}|}_{[𝐩]}$ と表記する。

ここで、${\mathbf{\text{e}}}_1\cdots ,{\mathbf{\text{e}}}_n$ は、それぞれ ${ℝ}^n$ 標準基底であり、${\mathbf{\text{e}}}_j$ は、第 j 標準ベクトルを意味する。

ヤコビ行列の導入

$\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ において、${\mathbf{\text{e}}}_1\cdots ,{\mathbf{\text{e}}}_n$ 全てに対して偏微分可能であるとき、

${(J𝐟)}_{[𝐩]}=\left(\begin{array}{ccc}{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial f_1}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\\ & ⋮& \\ {\frac{\partial f_m}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial f_m}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\end{array}\right)$　　　　(1-20)

を $\mathbf{\text{f}}$ の $𝐩$ におけるヤコビ行列という。

微分

設定

$\mathbf{\text{D}}$ を ${ℝ}^n$ の開集合とし、

$\mathbf{\text{f}}(𝐱)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(𝐱)\\ ⋮\\ f_m(𝐱)\end{array}\right)$　　　　(2-1)

を、$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$ 上で定義された ${ℝ}^m$ に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

微分の定義

$\mathbf{\text{p}}$ を $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$ 内の点とする（つまり $\mathbf{\text{p}}\in \mathbf{\text{D}}$）。このとき、$\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で微分可能であるとは、

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\left(\frac{𝐟(𝐱)-(𝐀(𝐱-𝐩)+𝐟(𝐩))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }\right)=0$　　　　(2-2)

を充たす $n\times m$ 行列 $\mathbf{\text{A}}$ が存在することを意味する。この $\mathbf{\text{A}}$ を、$\mathbf{\text{f}}$ の $\mathbf{\text{p}}$ における微分という。

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}-\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">p</mi>}}=\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}}$ とおくと、次のようにも表せる。

$\underset{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}}\to \mathbf{\text{<mn fromhbox="1">0</mn>}}}{\lim }\frac{\Vert f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">p</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">p</mi>}})-A\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}}\Vert }{||\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}}||}=0$

微分の一意性

$\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で微分可能であるとき、(2-2) を満たす $n\times m$ 行列はひとつしか存在しない。つまり、$n\times m$ 行列 $\mathbf{\text{B}}$ が、

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\left(\frac{𝐟(𝐱)-(𝐁(𝐱-𝐩)+𝐟(𝐩))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }\right)=0$　　　　(2-3)

を満たすとすると、

$\mathbf{\text{A}}=\mathbf{\text{B}}$　　　　(2-4)

が成立する。

微分可能性と偏微分可能性

$\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で微分可能であるとき、$\mathbf{\text{f}}$ は $\mathbf{\text{p}}$ で任意のベクトル $\mathbf{\text{a}}$ に対して偏微分可能である。実際、

$\begin{array}{cc}& \left(\frac{𝐟(t𝐚+𝐩)-𝐟(𝐩)}{t}\right)-𝐀\cdot 𝐚\\ & =\left(\frac{\mathbf{\text{f}}(t𝐚+𝐩)-(𝐀\cdot ((t𝐚+𝐩)-𝐩)+\mathbf{\text{f}}(𝐩))}{\Vert (t𝐚+𝐩)-𝐩\Vert }\right)\Vert 𝐚\Vert \end{array}$　　(2-5)

ここで、

$\underset{t\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathbf{\text{f}}(t𝐚+𝐩)-(𝐀\cdot ((t𝐚+𝐩)-𝐩)+\mathbf{\text{f}}(𝐩))}{\Vert (t𝐚+𝐩)-𝐩\Vert }\right)$　　　　(2-6)

は、(2-2) に $𝐱=𝐩+t𝐚$ を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の $t\to 0$ 極限は 0 となる。従って、

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{\text{f}}(t𝐚+𝐩)-\mathbf{\text{f}}(𝐩)}{t}=𝐀\cdot 𝐚$　　　　(2-7)

となる。以上より $\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で微分可能であるとき、$\mathbf{\text{f}}$ は $\mathbf{\text{p}}$ で ${ℝ}^n$ の任意のベクトル $\mathbf{\text{a}}$ に対して偏微分可能であることが示された。

式 (1-5), (2-6) から、$\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で微分可能ならば

${{\partial }_{[𝐚]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐩]}=𝐀\cdot 𝐚$　　　　(2-8)

であることが分かる。

ヤコビ行列の導入

式 (1-2-8) に ${\mathbf{\text{e}}}_1\cdots ,{\mathbf{\text{e}}}_n$ を代入すると、

${\frac{\partial \mathbf{\text{f}}}{\partial x_j}|}_{[𝐩]}=𝐀\cdot {𝐞}_j$　　　　(2-9)

である。従って $\mathbf{\text{f}}$の $\mathbf{\text{p}}$ での微分 $\mathbf{\text{A}}$ の第 j 列は、

${\frac{\partial 𝐟}{\partial x_j}|}_{[𝐩]}$　　　　(2-10)

第 i , j 成分は

${\frac{\partial f_i}{\partial x_j}|}_{[𝐩]}$　　　　(2-11)

となる。従って、

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}{\frac{\partial 𝐟}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial 𝐟}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial f_1}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\\ & ⋮& \\ {\frac{\partial f_m}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial f_m}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\end{array}\right)={(J𝐟)}_{[𝐩]}$　　　　(2-12)

となる。

誤差項の導入

「誤差項」の導入を行う。 $\mathbf{\text{f}}$ と $\mathbf{\text{p}}$ に対し、$\mathbf{\text{f}}$ の $\mathbf{\text{p}}$ における誤差項（ランダウの記号）${\mathbf{\text{o}}}_{[\mathbf{\text{f}},\mathbf{\text{p}}]}$ を

${𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱)=𝐟(𝐱)-({(J𝐟)}_{[𝐩]}\cdot (𝐱-𝐩)+𝐟(𝐩))$　　　　(2-13)

によって定める。

$\underset{\mathbf{\text{x}}\to 𝐩}{\lim }{𝐨}_{[𝐟,𝐩]}=\mathrm{𝟎}$　　　　(2-14)

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{{𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱)}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }=\mathrm{𝟎}$　　　　(2-15)

であることが分かる。

(2-14) は、以下の恒等式

$𝐟(𝐱)={(J𝐟)}_{[𝐩]}\cdot (𝐱-𝐩)+𝐟(𝐩)+{𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱)$　　　　(2-16)

の $\mathbf{\text{x}}$ に $\mathbf{\text{p}}$ を代入すれば直ちに得られる。 (2-16) の恒等式ことを、本記事では $\mathbf{\text{f}}$ の点 $\mathbf{\text{p}}$ における一次展開ということにする。 (2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、${\mathbf{\text{o}}}_{[\mathbf{\text{f}},\mathbf{\text{p}}]}$ が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。

(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は $\mathbf{\text{f}}$ の一次近似を表していると見ることができる。 つまり、点 $\mathbf{\text{p}}$ の近傍で $\mathbf{\text{f}}$ は

$𝐟(𝐱)\simeq 𝐟(𝐩)+{(J𝐟)}_{[𝐩]}(𝐩)(𝐱-𝐩)$　　　　(2-17)

とみなせることが分かる。

微分に関するいくつかの公式

偏微分の「方向」に関する公式

式 (2-8) から、$\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で微分可能であるとき、$\mathbf{\text{f}}$ は $\mathbf{\text{p}}$ において ${ℝ}^n$ の任意のベクトル $\mathbf{\text{a}}$, $\mathbf{\text{b}}$ と、任意の実数 $\lambda ,\mu$ に対して、

${{\partial }_{[\lambda 𝐚+\mu 𝐛]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐱]}=\lambda \left({{\partial }_{[𝐚]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐱]}\right)+\mu \left({{\partial }_{[𝐛]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐱]}\right)$　　　　(3-1)

が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、

$\begin{array}{cccc}& {{\partial }_{[\lambda 𝐚+\mu 𝐛]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐩]}={(J\mathbf{\text{f}})}_{[𝐩]}(\lambda 𝐚+\mu 𝐛)& =\lambda {(J\mathbf{\text{f}})}_{[𝐩]}(𝐚)+\mu {(J\mathbf{\text{f}})}_{[𝐩]}(𝐛)& =\lambda \left({{\partial }_{[𝐚]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐩]}\right)+\mu \left({{\partial }_{[𝐛]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐩]}\right)\end{array}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)

である。

また、(2-8) から、$\mathbf{\text{f}}$ が $\mathbf{\text{p}}$ で微分可能であるとき、$\mathbf{\text{f}}$ は $\mathbf{\text{p}}$ で ${ℝ}^n$ の任意のベクトル $\mathbf{\text{a}}$ に対して、

$\begin{array}{cc}& {{\partial }_{[𝐚]}\mathbf{\text{f}}|}_{[𝐩]}={(J\mathbf{\text{f}})}_{[𝐩]}𝐚=\left(\begin{array}{ccc}{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial f_1}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\\ & \ddots & \\ {\frac{\partial f_m}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial f_m}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\\ & =\sum _{j=1}^n{a}_i\left({\frac{\partial \mathbf{\text{f}}}{\partial x_j}|}_{𝐩}\right)\end{array}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)

が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

アフィン写像の微分

次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて

$T(\mathbf{\text{x}})=\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{x}}+\mathbf{\text{b}}$　　(3-4)

の形で具体的な数式として書ける、${ℝ}^n$から${ℝ}^m$への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（${ℝ}^n$の点）$\mathbf{\text{p}}$で微分可能で、任意の点（${ℝ}^n$の点）$\mathbf{\text{p}}$において、

${(JT)}_{[𝐩]}=\mathbf{\text{A}}$　　(3-5)

である。逆に、任意の点$\mathbf{\text{p}}$において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

合成写像の微分

次に、合成写像の微分について説明する。$\mathbf{\text{E}}$を${ℝ}^m$の開集合とし、$\mathbf{\text{E}}$は、$\mathbf{\text{f}}$の値域を含む（つまり、$\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{D}})\subset \mathbf{\text{E}}$、特に$\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{p}})\in \mathbf{\text{E}}$とする）とする。多変数ベクトル値関数 $𝐠(𝐲)=\left(\begin{array}{c}{g}_1(𝐲)\\ ⋮\\ g_m(𝐲)\end{array}\right)$　　　　(3-6)

は、$\mathbf{\text{E}}$で定義され、${ℝ}^l$に値をとるとする。このとき、$𝐠$と$\mathbf{\text{f}}$との合成写像$𝐠\circ \mathbf{\text{f}}$は、$\mathbf{\text{D}}$で定義され、${ℝ}^l$に値をとる多変数ベクトル値関数である。

$\mathbf{\text{f}}$が点$\mathbf{\text{p}}$で微分可能で、$𝐠$が、点$𝐟(𝐩)$で微分可能であるとき、$𝐠\circ \mathbf{\text{f}}$も$\mathbf{\text{p}}$で微分可能で、

${\left(J(\mathbf{\text{g}}\circ 𝐟)\right)}_{[\mathbf{\text{p}}]}$=${\left(J𝐠\right)}_{[\mathbf{\text{f}}(𝐩)]}$$\cdot {(J\mathbf{\text{f}})}_{\mathbf{\text{p}}}$　　　　(3-7)

ここで“$\cdot$”とは、行列としての積である。

■証明
$\mathbf{\text{f}}$を点$\mathbf{\text{p}}$で一次展開し、 $\mathbf{\text{g}}$を点$𝐟(𝐩)$で(2-16)同様に一次展開すると、

$𝐟(𝐱)$$={(J𝐟)}_{[𝐩]}\cdot (𝐱-𝐩)+𝐟(𝐩)+{𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱)$　　　　(3-8)

$𝐠(𝐲)$$={(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot (𝐲-𝐟(𝐩))+𝐠(𝐟(𝐩))+{𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(\mathbf{\text{f}}(𝐩))$　　　　(3-9)

となるので、

$𝐠\circ \mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{x}})$ $=𝐠(\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{x}}))$ $={(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot (𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩))+𝐠(𝐟(𝐩))+{𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(\mathbf{\text{f}}(𝐩))$

$={(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot ({(J𝐟)}_{[𝐩]}\cdot (𝐱-𝐩)+{𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱))$

$+𝐠(𝐟(𝐩))+{𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩))$

$={(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot {(J𝐟)}_{[𝐩]}\cdot (𝐱-𝐩)+{(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot {𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱)$$+𝐠(𝐟(𝐩))+{𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩))$

$={(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot {(J𝐟)}_{[𝐩]}\cdot (𝐱-𝐩)+𝐠(𝐟(𝐩))$ $+{𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩))+{(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot {𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱)$ 　　　　(3-10)

である。従って

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩))+{(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot {𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }=0$　　　　(3-11)

を示すを示せば終証である。

以下(3-11)を示す。

$\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }$ $=\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }\left(\frac{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }\right)$ $=\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }\left(\frac{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }\right)$ 　　　　(3-12)

より、 $\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }$$=\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }\left(\frac{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }\right)$　　　　(3-13)

一方、

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }$=$\underset{𝐟(𝐱)\to 𝐟(𝐩)}{\lim }\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }$　　　　(3-14)

は、

$\underset{𝐲\to 𝐟(𝐩)}{\lim }\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐲-𝐟(𝐩)\Vert }$　　　　(3-15)

の特殊なケースに過ぎないので、

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }=0$　　　　(3-16)

さらに、

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\left(\frac{\Vert 𝐟(𝐱)-𝐟(𝐩)\Vert }{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }\right)$　　　　(3-17)

は有限の値であることから、

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{({𝐨}_{[𝐠,𝐟(𝐩)]}(𝐟(𝐩)))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }=0$　　　　(3-18)

また、

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{({(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot {𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }=0$　　　(3-19)

は、

$\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\frac{({(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\cdot {𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱))}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }$$=\underset{𝐱\to 𝐩}{\lim }\left({(J𝐠)}_{[𝐟(𝐩)]}\left(\frac{{𝐨}_{[𝐟,𝐩]}(𝐱)}{\Vert 𝐱-𝐩\Vert }\right)\right)$ 　　　　(3-20)

であることと、線形写像の連続性から明らかである。

■

(3-7)を行列として具体的に表記すると

${\left(J(\mathbf{\text{g}}\circ 𝐟)\right)}_{[\mathbf{\text{p}}]}$=$\left(\begin{array}{ccc}{\frac{\partial g_1}{\partial x_1}|}_{[𝐟(𝐩)]}& \cdots & {\frac{\partial g_1}{\partial x_m}|}_{[𝐟(𝐩)]}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ {\frac{\partial g_l}{\partial x_1}|}_{[𝐟(𝐩)]}& \cdots & {\frac{\partial g_l}{\partial x_m}|}_{[𝐟(𝐩)]}\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{ccc}{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial f_1}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ {\frac{\partial f_m}{\partial x_1}|}_{[𝐩]}& \cdots & {\frac{\partial f_m}{\partial x_n}|}_{[𝐩]}\end{array}\right)$(3-21)

となる。これから、

${\frac{\partial {(𝐟\circ 𝐠)}_i}{\partial x_j}|}_{[\mathbf{\text{p}}]}={\sum _{k=1}^m\frac{\partial f_i}{\partial x_k}|}_{[\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{p}})]}{\frac{\partial g_k}{\partial x_j}|}_{[\mathbf{\text{p}}]}$(3-22)

が分かる。

合成写像の偏微分

次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。

${{\partial }_{[𝐚]}{f}_i|}_{[𝐩]}=$${\frac{d(f_i{}^{\circ }{l}_{[𝐚,𝐩]})}{dt}|}_{t=0}$ 　　　　　　(3-23)

(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、

${\frac{d(f_i{}^{\circ }{l}_{[𝐚,𝐩]})}{dt}|}_{t=s}={(J{f}_i)}_{l_{[𝐚,𝐩]}}{\left(l_{[𝐚,𝐩]}\right)}_s$ $=({\frac{\partial f_i}{\partial x_1}|}_{[l_{[𝐚,𝐩]}]},\cdots ,{\frac{\partial f_i}{\partial x_n}|}_{[l_{[𝐚,𝐩]}]})$ $s\mathbf{\text{a}}$ $={\sum _{i=1}^{m}s{a}_j\frac{\partial f_i}{\partial x_j}|}_{[s𝐚+𝐛]}$　　　(3-24)

以上より、

${{\partial }_{[𝐚]}{f}_i|}_{[𝐩]}=$${\sum _{i=1}^{m}s{a}_j\frac{\partial f_i}{\partial x_j}|}_{[s𝐚+𝐛]}$　　　　　　(3-25)

逆写像の微分

次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。$\mathbf{\text{E}}$を${ℝ}^m$の開集合とし、$\mathbf{\text{E}}$は、$\mathbf{\text{f}}$の値域を含む（つまり、$\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{D}})\subset \mathbf{\text{E}}$、特に$\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{p}})\in \mathbf{\text{E}}$とする）とする。多変数ベクトル値関数

$𝐠(𝐱)=\left(\begin{array}{c}{g}_1(𝐱)\\ ⋮\\ g_m(𝐱)\end{array}\right)$　(3-26)

は、$\mathbf{\text{E}}$で定義され、${ℝ}^m$に値をとるとする。さらに、$\mathbf{\text{g}}$が$\mathbf{\text{f}}$の逆写像、つまり

$𝐠=$${𝐟}^{-1}$　(3-27)

とする。このとき、

${(J{𝐟}^{-1})}_{[𝐟(𝐩)]}={\left({(J𝐟)}_{[𝐩]}\right)}^{-1}$　(3-28)

が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。 これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。

導関数の導入

これまでの議論では、一点$\mathbf{\text{p}}$を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$を、${ℝ}^n$の開集合とし、

$𝐟(x_1,,x_n)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,,x_n)\end{array}\right)$　　　　(4-1)

を、$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$上で定義され、${ℝ}^m$に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

$\mathbf{\text{a}}$を、${ℝ}^n$の固定されたベクトルとする。（$\mathbf{\text{a}}\notin \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$でもよい。）このとき、「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、$\mathbf{\text{a}}$について偏微分可能である」とは$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$内の全ての点において、(4-1)の意味で$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{a}}$について偏微分可能であることを意味する。このとき「$\mathbf{\text{f}}$の$\mathbf{\text{a}}$についての偏導関数${\partial }_{[𝐚]}𝐟$」とは、「$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$の点$\mathbf{\text{x}}$と$\mathbf{\text{x}}$における偏微分商${{\partial }_{[𝐚]}𝐟|}_{\mathbf{\text{x}}}$を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、

${\partial }_{[𝐚]}𝐟(\mathbf{\text{x}})=$ ${{\partial }_{[𝐚]}𝐟|}_{\mathbf{\text{x}}}$　　　　(4-2)

である。特に

${\partial }_{[{𝐞}_j]}𝐟(\mathbf{\text{x}})=$$\left(\frac{\partial 𝐟}{\partial x_j}\right)(\mathbf{\text{x}})$　　　　(4-3)

とする。

「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、微分可能である」とは、「$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$内の全ての点において、(2-2)の意味で$\mathbf{\text{f}}$が微分可能」であることを意味する。

このとき「$\mathbf{\text{f}}$の$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$における導関数${𝐟}^{\text{'}}$」とは、「$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$の点$\mathbf{\text{x}}$と$\mathbf{\text{x}}$における微分${(J𝐟)}_{[𝐱]}$を対応させる行列値の関数」である。つまり、

$𝐟\text{'}(𝐱)=$${(J𝐟)}_{[𝐱]}$　　　　(4-4)

である。${𝐟}^{\prime }$のことを$J𝐟$や、$T𝐟$と書くこともある。 尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、$d\mathbf{\text{f}}$は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。

また、(4-5)から、直ちに「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、微分可能」ならば、「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、任意の$\mathbf{\text{a}}$について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、任意の$\mathbf{\text{a}}$について偏微分可能」であっても、「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、微分可能」とは限らない。

「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、連続微分可能である」とは、「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、${𝐞}_1,\cdots ,{𝐞}_j\cdots ,{𝐞}_n$全てについて偏微分可能であり、かつ${𝐞}_1,\cdots ,{𝐞}_j\cdots ,{𝐞}_n$についての偏導関数がすべて$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、連続であること」を意味する。

一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、連続微分可能」ならば「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、微分可能」であるものの、「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、微分可能」であっても、「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、連続微分可能」とは限らない。

但し、「$\mathbf{\text{f}}$が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で微分可能であり、導関数が$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、連続」ならば、「$\mathbf{\text{f}}$は$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$で、連続微分可能」である。

全微分

${ℝ}^n$ に $⟨{\mathit{\text{x}}}_1,\cdots ,{\mathit{\text{x}}}_n⟩$ 座標系が定まっているとする。 式 (1-14) の ${\mathit{\text{x}}}_1,\cdots ,{\mathit{\text{x}}}_n$ は全て ${ℝ}^n$ から $ℝ$ への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に

${{\mathit{\text{x}}}_i}^{\prime }(𝐱)={}^t{𝐞}_i$　　　　(5-1)

である。ここで ${}^t$ は転置を意味する。すなわち ${}^t{\mathbf{\text{e}}}_i$ とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。

式 (4-4) より ${𝐟}^{\prime }(𝐱)$ は、

${𝐟}^{\prime }(𝐱)=(\left(\frac{\partial 𝐟}{\partial x_1}\right)(𝐱),\cdots ,\left(\frac{\partial 𝐟}{\partial x_n}\right)(𝐱))$ 　　　　(5-2)

で定まる行列値関数であるため、

${𝐟}^{\prime }(𝐱)=\sum _{i=1}^n(\left(\frac{\partial 𝐟}{\partial x_i}\right)(𝐱)){}^t{𝐞}_i$　　　　(5-3)

であり、

${𝐟}^{\prime }(𝐱)=\sum _{i=1}^n(\left(\frac{\partial 𝐟}{\partial x_i}\right)(𝐱))({r_i}^{\prime }(𝐱))$　　　　(5-4)

がわかる。ここで、${𝐟}^{\prime }$ を $d𝐟$、${x_i}^{\prime }$ を $d{x}_i$ と書くと、

$d𝐟(𝐱)=\sum _{i=1}^n(\left(\frac{\partial 𝐟}{\partial x_i}\right)(𝐱))(d{x}_i(𝐱))$　　　　(5-5)

となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、

$d𝐟=\sum _{i=1}^n\left(\frac{\partial 𝐟}{\partial x_i}\right)d{x}_i$　　　　(5-6)

となる。

微分の“逆問題”

スカラーポテンシャルの定義

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$を、${ℝ}^n$の開集合とし、

$A=(a_{11},\cdots ,a_{1n})$　　(6-1-1)

を、$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、 各成分が関数である行列のことを意味する。

式(6-1-1)の$A$に対し、

$f(x)=A$　　(6-1-2)

を充たす、一変数スカラー値関数$f$を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、$A$のスカラーポテンシャルという。

以下、1行n列の行列値関数$A$があたえられたとき、$A$のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。

偏導関数に関する「微積分学の基本定理」

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$を、${ℝ}^n$の開集合とし、$h$を$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$上で定義された多変数スカラー値関数とする。

$\mathbf{\text{p}}$を、$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$内の点とする。（つまり、$\mathbf{\text{p}}\in \mathbf{\text{D}}$）$\mathbf{\text{a}}$を、${ℝ}^n$のベクトルとする。（$\mathbf{\text{a}}\notin \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$でもよい。） このとき、

$\underset{s=0}{\overset{s=1}{\int }}(\left({\partial }_{[𝐚]}h\right)(s𝐚+𝐩))ds$=$h(𝐚+𝐩)-h(𝐩)$　　(6-2-1)

が成立する。但し、$0\le s\le 1$を充たす全ての$s$に対して、 $(s𝐚+𝐩)\in \mathbf{\text{D}}$　　(6-2-2) が成り立っているものとする。

以下、(6-2-1)を示す。まず、

$h\circ l_{[𝐚,𝐩]}(s)=h(s𝐚+𝐩)$　　　　　　(6-2-3)

で、 ${\partial }_{[𝐚]}h(𝐱)=$$\left(\frac{d(h{}^{\circ }{l}_{[𝐚,𝐩]})}{ds}\right)$　　　　　　(6-2-4) である。但し、$l_{[𝐚,𝐩]}$は、(1-9)同様、

$l_{[𝐚,𝐩]}(s)=s𝐚+𝐩$　　(6-2-5)

である。

(6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、

$\underset{s=0}{\overset{s=1}{\int }}\left(\frac{d(h{}^{\circ }{l}_{[𝐚,𝐩]})}{ds}\right)ds$= ${[h(s𝐚+𝐩)]}_{s=0}^{s=1}$　　(6-2-5)

従って、(6-2-1)が分かる。

ポアンカレの補助定理の準備

(6-1-1)の$A$に対し、作用積分$U_{[A,𝐩]}$を定義する。

$𝐩=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ ⋮\\ p_n\end{array}\right)$　　(6-3-1)

を${ℝ}^n$の点とする。また、$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$を、${ℝ}^n$の開集合とし、さらに$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$が$\mathbf{\text{p}}$を中心に星型とする。

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$が$\mathbf{\text{p}}$を中心に星型とは、任意の$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$の点$\mathbf{\text{x}}$と、任意の$s\in [0,1]$に対し、

$s(𝐱-𝐩)+𝐩\in \mathbf{\text{D}}$　　(6-3-2)

であることを意味する。

$\mathbf{\text{p}}$は固定されているものとする。また、

$\mathbf{\text{x}}$$=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$　　(6-3-3)

も固定されていると考える。

式(6-1-1)の、$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">D</mi>}}$上で定義された1行n列の行列値関数$A$に対し、${U_{[A,𝐩]}|}_{𝐱}$を

${U_{[A,𝐩]}|}_{𝐱}$=$\underset{s=0}{\overset{s=1}{\int }}(A(s(𝐱-𝐩)+𝐩)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1-p_1\\ ⋮\\ x_n-p_n\end{array}\right))ds$　　(6-3-4 )

と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数

$A(s(𝐱-𝐩)+𝐩)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1-p_1\\ ⋮\\ x_n-p_n\end{array}\right)$　　(6-3-5)

は、$s$についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　$U_{[A,𝐩]}$を、点$\mathbf{\text{x}}$と、 実数${U_{[A,𝐩]}|}_{𝐱}$を対応させる多変数スカラー値関数

$U_{[A,𝐩]}(𝐱)$${=U_{[A,𝐩]}|}_{𝐱}$　　(6-3-6)

とする。以降、点$\mathbf{\text{x}}$は、変数とみなす。

参考文献

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