多重円板のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[多変数複素関数]]論において、'''多重円板は'''[[円板|円板の]][[直積集合]]である。

より具体的には、 <math> D(z,r)</math>を[[複素平面]]上の中心''z''と半径''rを持つ開円板とするとき''、開多重円板は次の[[直積集合|直積]]集合として表される。

: <math>D(z_1,r_1) \times \dots \times D(z_n,r_n).</math>

同値なことだが

: <math>\{ w=(w_1, w_2, \dots, w_n) \in {\mathbf{C}}^n : \vert z_k - w_k \vert < r_k, \mbox{ for all } k = 1,\dots,n \}.</math>

とも表される。

'''多重円板'''は、しばしば'''C''' <sup>N</sup>における開球と間違われるが、これは以下の形で定義されるものである。

: <math>\{ w \in \mathbf{C}^n : \lVert z - w \rVert < r \}.</math>

ここでは、[[ノルム]]は'''C'''<sup>N</sup>の通常の[[ユークリッド距離]]を考える。

<math>n > 1</math> のときには、開球と開多重円板の間には[[双正則写像]]が存在せず、[[双正則同値]]にならない。これは、1907年に[[アンリ・ポアンカレ|ポアンカレ]]によって、自己同形群が[[リー群]]として次元が異なることを示すことによって証明された。 <ref>Poincare, H,Les fonctions analytiques de deux variables et la r?epresentation conforme, Rend. Circ. Mat. Palermo23 (1907), 185-220</ref>

多重円板は、[[多変数複素関数|ラインハル領域]]における対数凸な集合の例になっている。

== 脚注 ==
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{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Cite book|last=Steven G Krantz|title=Function Theory of Several Complex Variables|publisher=American Mathematical Society|year=Jan 1, 2002|isbn=0-8218-2724-3}}
* {{Cite book|last=John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo|title=Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces|publisher=CRC Press|year=Jan 6, 1993|isbn=0-8493-8272-6}}

{{Planetmath|urlname=polydisc|title=polydisc}}

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