多重円板

数学の一分野である多変数複素関数論において、多重円板は円板の直積集合である。

より具体的には、 $D (z, r)$ を複素平面上の中心zと半径rを持つ開円板とするとき、開多重円板は次の直積集合として表される。

D (z_{1}, r_{1}) \times \dots \times D (z_{n}, r_{n}) .

同値なことだが

{w = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}) \in 𝐂^{n} : | z_{k} - w_{k} | < r_{k}, for all k = 1, \dots, n} .

とも表される。

多重円板は、しばしばC ^Nにおける開球と間違われるが、これは以下の形で定義されるものである。

{w \in 𝐂^{n} : ‖ z - w ‖ < r} .

ここでは、ノルムはC^Nの通常のユークリッド距離を考える。

$n > 1$ のときには、開球と開多重円板の間には双正則写像が存在せず、双正則同値にならない。これは、1907年にポアンカレによって、自己同形群がリー群として次元が異なることを示すことによって証明された。 ^[1]

多重円板は、ラインハル領域における対数凸な集合の例になっている。

脚注

↑ Poincare, H,Les fonctions analytiques de deux variables et la r?epresentation conforme, Rend. Circ. Mat. Palermo23 (1907), 185-220