多項係数のソースを表示

[[画像:Pascal pyramid 3d.svg|thumb|パスカルの三角錐を5段目まで描いたもの。側面（橙色の格子）は何れも[[パスカルの三角形]]になっている。矢印は、1つ上の段から和を取ることを表している。]]
[[数学]]における'''多項係数'''（たこうけいすう、{{lang-en-short|Multinomial coefficient}}）は[[二項係数]]を一般化したものである。

== 定義 ==
非負整数列 {{math2|''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}, …, ''k{{sub|r}}''}} および {{math2|1=''n'' = ''k''{{sub|1}} + ''k''{{sub|2}} + … + ''k{{sub|r}}''}} に対して、'''多項係数'''が定義される。

多項係数を直接表示すると
:<math>\binom{n}{k_1,k_2, \dotsc, k_r} := \frac{n!}{k_1!\dotsm k_r!}</math>
となる。ここに {{math|''x''!}} は {{mvar|x}} の[[階乗]]を表す。

多項係数は帰納的に表すこともできる：
:<math>\binom{n}{k_1, \cdots, k_r} := \binom{n-1}{k_1-1, k_2, \cdots , k_r} + \cdots + \binom{n-1}{k_1, \cdots , k_{r-1}, k_r-1}</math>
多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくと {{mvar|r}}-単体となる（[[パスカルの単体]]。{{math2|1=''r'' = 3}} のときについては{{仮リンク|パスカルの三角錐|en|Pascal's pyramid}}を参照）。

多項係数は[[二項係数]]を用いて
:<math>\binom{k_1+k_2+\dotsb+k_r}{k_r} \binom{k_1+k_2+\dotsb+k_{r-1}}{k_{r-1}} \cdots \binom{k_1}{k_1} = \textstyle\prod\limits_{i=1}^r \dbinom{\sum\limits_{s=1}^i k_s}{k_i}</math>
と表すこともできる。

== 応用と解釈 ==
=== 多項定理 ===
{{main|多項定理}}
[[二項定理]]の拡張である、[[多項定理]]と呼ばれる等式
: <math>(x_1+\dotsb+x_r)^n = \textstyle\sum\limits_{k_1+\dotsb+k_r=n} \dbinom{n}{k_1,\dotsc,k_r} \cdot {x_1}^{k_1} \dotsm {x_r}^{k_r}</math>
が成立する。特に {{math2|1=''x''{{sub|1}} = ''x''{{sub|2}} = … = ''x{{sub|r}}'' = 1}} と置くことにより
: <math>r^n = \textstyle\sum\limits_{k_1+\dotsb+k_r=n} \dbinom{n}{k_1,\dotsc,k_r}</math>
が得られる。

=== 多項分布 ===
多項係数の応用として、[[多項分布]]
: <math>P(X_1=k_1,X_2=k_2,\dotsc, X_r=k_r) = \binom{n}{k_1, \dotsc, k_r} \cdot p_1^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2} \dotsm {p_r}^{k_r}</math>
は離散確率変数に関する[[確率分布]]である。

=== 組合せ論的解釈 ===
==== 組み分け問題 ====
多項係数 {{math2|({{su|p=''n''|b=''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}, …, ''k{{sub|r}}''|a=c}})}} は {{mvar|n}} 個の対象を {{mvar|r}} 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各 {{mvar|i}} 番目の箱に {{mvar|k{{sub|i}}}} 個だけの対象が含まれるように入れる方法の総数である。<!--

; 例 :Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die 32 Karten eines [[スカート (トランプ)|]] zu je 10 Karten an die 3 Spieler sowie zu 2 Restkarten in den "Skat" zu legen? 

Da es sich um <math>n=32</math> Objekte handelt, die in <math>r=4</math> Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je <math>k_1=k_2=k_3=10</math> Objekte und in die vierte Schachtel <math>k_4=2</math> Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben: 

:<math>\binom{32}{10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640
</math>-->

==== 重複置換の問題 ====
多項係数 {{math2|({{su|p=''n''|b=''k''{{sub|1}},''k''{{sub|2}},…,''k{{sub|r}}''|a=c}})}} は、{{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''r''}} に対して各々ちょうど {{mvar|k{{ind|i}}}} 個の区別不能な対象が含まれる {{mvar|n}} 個の対象の[[置換 (数学)|置換]]の総数にも等しい。

; 例
: 問い. MISSISSIPPI の[[アナグラム|文字を並べ替えて得られる「語」]]は相異なるものが全部でいくつあるか？
この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が {{math|1}} 個 ({{math|''k''{{ind|1}} {{=}} 1}}), 二種類目の文字 I が {{math|4}} 個 ({{math|''k''{{ind|2}} {{=}} 4}}), 三種類目の文字 S が {{math|4}} 個 ({{math|''k''{{ind|3}} {{=}} 4}}), 残りは P が {{math|2}} 個 ({{math|''k''{{ind|4}} {{=}} 2}}) であるから、多項係数
: <math>\binom{11}{1,4,4,2}=\frac{11!}{1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!}=34650</math>
が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は {{math|11! {{=}} 39,916,800}} とずっと多くなる。

== パスカルの単体 ==
[[二項係数]]に対する[[パスカルの三角形]]の類似対応物として、{{mvar|r}}-変数の多項係数にも幾何学的な図形（[[単体 (数学)|単体]]）が対応し、[[パスカルの単体|パスカルの {{mvar|r}}-単体]]と呼ばれる。{{math|''r'' {{=}} 3}} のときは特に、{{仮リンク|三項係数|de|Trinomialkoeffizient}}に対する{{仮リンク|パスカルの三角錐|en|Pascal's pyramid}}と呼ばれる。

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Multinominal Coefficient|urlname=MultinomialCoefficient}}

{{DEFAULTSORT:たこうけいすう}}
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]