多項係数

数学における多項係数（たこうけいすう、テンプレート:Lang-en-short）は二項係数を一般化したものである。

定義

非負整数列テンプレート:Math2 およびテンプレート:Math2 に対して、多項係数が定義される。

多項係数を直接表示すると

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}}) : = \frac{n!}{k_{1}! \dots k_{r}!}

となる。ここにテンプレート:Math はテンプレート:Mvar の階乗を表す。

多項係数は帰納的に表すこともできる：

(\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) : = (\binom{n - 1}{k_{1} - 1, k_{2}, \dots, k_{r}}) + \dots + (\binom{n - 1}{k_{1}, \dots, k_{r - 1}, k_{r} - 1})

多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくとテンプレート:Mvar-単体となる（パスカルの単体。テンプレート:Math2 のときについてはテンプレート:仮リンクを参照）。

多項係数は二項係数を用いて

(\binom{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{r}}{k_{r}}) (\binom{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{r - 1}}{k_{r - 1}}) \dots (\binom{k_{1}}{k_{1}}) = \prod_{i = 1}^{r} (\binom{\sum_{s = 1}^{i} k_{s}}{k_{i}})

と表すこともできる。

応用と解釈

多項定理

テンプレート:Main 二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式

(x_{1} + \dots + x_{r})^{n} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{r} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) \cdot {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{r}}^{k_{r}}

が成立する。特にテンプレート:Math2 と置くことにより

r^{n} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{r} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}})

が得られる。

多項分布

多項係数の応用として、多項分布

P (X_{1} = k_{1}, X_{2} = k_{2}, \dots, X_{r} = k_{r}) = (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) \cdot p_{1}^{k_{1}} \cdot {p_{2}}^{k_{2}} \dots {p_{r}}^{k_{r}}

は離散確率変数に関する確率分布である。

組合せ論的解釈

組み分け問題

多項係数テンプレート:Math2 はテンプレート:Mvar 個の対象をテンプレート:Mvar 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各テンプレート:Mvar 番目の箱にテンプレート:Mvar 個だけの対象が含まれるように入れる方法の総数である。

重複置換の問題

多項係数テンプレート:Math2 は、テンプレート:Math に対して各々ちょうどテンプレート:Mvar 個の区別不能な対象が含まれるテンプレート:Mvar 個の対象の置換の総数にも等しい。

例: 問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか？

この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M がテンプレート:Math 個 (テンプレート:Math), 二種類目の文字 I がテンプレート:Math 個 (テンプレート:Math), 三種類目の文字 S がテンプレート:Math 個 (テンプレート:Math), 残りは P がテンプレート:Math 個 (テンプレート:Math) であるから、多項係数

(\binom{11}{1, 4, 4, 2}) = \frac{11!}{1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!} = 34650

が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数はテンプレート:Math とずっと多くなる。

パスカルの単体

二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、テンプレート:Mvar-変数の多項係数にも幾何学的な図形（単体）が対応し、[[パスカルの単体|パスカルのテンプレート:Mvar-単体]]と呼ばれる。テンプレート:Math のときは特に、テンプレート:仮リンクに対するテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

外部リンク

テンプレート:MathWorld

多項係数

目次

定義

応用と解釈

多項定理

多項分布

組合せ論的解釈

組み分け問題

重複置換の問題

パスカルの単体

外部リンク

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多項係数

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多項分布

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