多項分布

テンプレート:確率分布 多項分布（たこうぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。

二項分布は、テンプレート:Mvar 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個（テンプレート:Mvar 個）の値をとり、それぞれの値をとる確率は テンプレート:Math2（すなわち、テンプレート:Math2 について テンプレート:Math2 であり、$\sum _{i=1}^k{p}_i=1$ が成り立つ）であり、テンプレート:Mvar 回の独立した試行が行われる。確率変数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 回の試行で テンプレート:Mvar という数が出る回数を示す。テンプレート:Math2 は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar をパラメータとする多項分布に従う。

確率質量関数

多項分布の確率質量関数は次の通りである。

$f(x_1,\cdots ,x_k;n,p_1,\cdots ,p_k)=\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}& \text{when }\sum _{i=1}^k{x}_i=n\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

ここで、テンプレート:Math2 は負でない整数である。

属性

期待値は次の通り。

$\mathrm{E}[X_i]=n{p}_i.$

共分散行列は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の分散であるから、次のようになる。

$\mathrm{var}[X_i]=n{p}_i(1-p_i).$

対角線以外のエントリは共分散であり、次のようになる。

$\mathrm{cov}[X_i,X_j]=-n{p}_i{p}_j$

ここで、テンプレート:Math2 である。

共分散は全体として負となる。なぜなら、テンプレート:Mvar が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。

これは、テンプレート:Math の非負値定符号行列であり、行列の階数は テンプレート:Math2 である。

対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。

$\rho [X_i,X_j]=-\sqrt{\frac{p_i{p}_j}{(1-p_i)(1-p_j)}}.$

この表現では標本サイズ テンプレート:Mvar が出現しない点に注意されたい。

テンプレート:Mvar個の要素それぞれは テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar（テンプレート:Mvar 番目の要素に対応する確率）をパラメータとする二項分布となる。

多項分布のサポートは集合 $\{(n_1,\cdots ,n_k)\in {\mathbb{N}}^k\mid n_1+\cdots +n_k=n\}$ である。その要素数は $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k-1})=⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩$ である（重複組合せ）。

関連する分布

• テンプレート:Math2 の多項分布を二項分布と呼ぶ。
• ベイズ統計での多項の共役事前分布をディリクレ分布と呼ぶ。

関連項目

• 多項定理
• 壺問題

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• Discrete Probability Distribution - Multinomial Distribution