多項定理

数学における多項定理（たこうていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、多項和 (multinomial) の冪を展開した式を表すものである。二項定理において項数を一般化したものである。

定理の主張

多項公式 (multinomial formula) とは、正整数テンプレート:Mvar, 非負整数テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar項和の任意のテンプレート:Mvar-冪を展開すると

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} {x_{2}}^{k_{2}} \dots {x_{m}}^{k_{m}}

となることを示すものである。ここで係数テンプレート:Math2 は多項係数と呼ばれ、

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m}!}

となる。また、テンプレート:Math2 は非負整数であり、総和はテンプレート:Math2 となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数はテンプレート:Mvar となる。また、テンプレート:Math はここでは、二項定理の場合と同様に、（テンプレート:Mvar が零のときも含めて恒等的に）テンプレート:Math と定義している。

テンプレート:Math2 のとき、主張は二項定理である。

多重添字記法を用いると、定理の主張は

(x_{1} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{| α | = n} (\binom{n}{α}) x^{α}

略記できる。ここに、テンプレート:Math2 であって、テンプレート:Math2 およびテンプレート:Math2 に対してテンプレート:Math2 である。

例えば、 $(a + b + c)^{3}$ を展開すると、次のようになる：

\begin{matrix} (a + b + c)^{3} & = (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + 3 c^{2} a + 3 c a^{2} + 6 a b c \end{matrix}

証明

組合せ論的証明

二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。

テンプレート:Mvar個のテンプレート:Math2 の積を一度に展開し切ることを考える。

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = \underset{n factors}{\underset{⏟}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m}) \dots (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})}}

一度に展開すると、それぞれのテンプレート:Math2 からテンプレート:Math2 の1つだけを取った文字テンプレート:Mvar個の総乗の総和となる。

これらの積のうち、並び替えてテンプレート:Math2 になるものは、テンプレート:Math2個のテンプレート:Math、…、テンプレート:Mvar個のテンプレート:Mvar を並べる場合の数だけあるから、多項係数テンプレート:Math、すなわちテンプレート:Math2 の係数はテンプレート:Math2 となる。

指数について帰納法

二項定理と同様に、指数テンプレート:Mvar についての数学的帰納法で証明できる。

テンプレート:Math2 のとき、

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{1} = 1 x_{1} + 1 x_{2} + \dots + 1 x_{m},

\frac{1!}{1! 0! \dots 0!} = 1

より成り立つ。

あるテンプレート:Mvar について成り立つと仮定する。

(x_{1} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}}

より、

(x_{1} + \dots + x_{m})^{n + 1}

= (x_{1} + \dots + x_{m}) (x_{1} + \dots + x_{m})^{n}

= (x_{1} + \dots + x_{m}) \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}}

= x_{1} \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}} + x_{m} \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}}

= \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1} + 1} {x_{2}}^{k_{2}} \dots {x_{m}}^{k_{m}} + \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m - 1}}^{k_{m - 1}} {x_{m}}^{k_{m} + 1}

= \sum_{\binom{k_{1} + \dots + k_{m} = n + 1}{k_{1} \geq 1}} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}} + \sum_{\binom{k_{1} + \dots + k_{m} = n}{k_{m} \geq 1}} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}}

= \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n + 1} (\binom{n}{k_{1} - 1, k_{2}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}} + \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n + 1} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m - 1}, k_{m} - 1}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}}

(∵ (\binom{n}{\dots, - 1, \dots}) = 0)

= \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n + 1} [(\binom{n}{k_{1} - 1, k_{2}, \dots, k_{m}}) + \dots + (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m - 1}, k_{m} - 1})] {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}}

= \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n + 1} (\binom{n + 1}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {x_{1}}^{k_{1}} \dots {x_{m}}^{k_{m}}

最後の等号は

(\binom{n + 1}{k_{1}, \dots, k_{m}}) = (\binom{n}{k_{1} - 1, k_{2}, \dots, k_{m}}) + \dots + (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m - 1}, k_{m} - 1})

が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗表示：

\frac{n!}{(k_{1} - 1)! k_{2}! \dots k_{m - 1}!} + \dots \frac{n!}{k_{1}! \dots k_{m - 1}! (k_{m} - 1)!}

を通分すると左辺になることが示せる。

項数について帰納法

二項定理を既知とすると、項数テンプレート:Mvar について数学的帰納法により証明できる。

まずテンプレート:Math2 のとき、テンプレート:Math2 であり両辺は単項でテンプレート:Math に等しい。

次に、テンプレート:Mvar に対して多項定理が成り立つと仮定する。

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m} + x_{m + 1})^{n} = (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m - 1} + (x_{m} + x_{m + 1}))^{n}

に帰納法の仮定を適用して

\begin{matrix} = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m - 1} + K = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K}) {x_{1}}^{k_{1}} {x_{2}}^{k_{2}} \dots {x_{m - 1}}^{k_{m - 1}} (x_{m} + x_{m + 1})^{K} \\ = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m - 1} + K = n} ((\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K}) {x_{1}}^{k_{1}} {x_{2}}^{k_{2}} \dots {x_{m - 1}}^{k_{m - 1}} \sum_{k_{m} + k_{m + 1} = K} (\binom{K}{k_{m}, k_{m + 1}}) {x_{m}}^{k_{m}} {x_{m + 1}}^{k_{m + 1}}) \\ (binomial theorem) \\ = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m - 1} + K = n} \sum_{k_{m} + k_{m + 1} = K} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K}) (\binom{K}{k_{m}, k_{m + 1}}) {x_{1}}^{k_{1}} {x_{2}}^{k_{2}} \dots {x_{m - 1}}^{k_{m - 1}} {x_{m}}^{k_{m}} {x_{m + 1}}^{k_{m + 1}} \\ = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m - 1} + k_{m} + k_{m + 1} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, k_{m}, k_{m + 1}}) {x_{1}}^{k_{1}} {x_{2}}^{k_{2}} \dots {x_{m - 1}}^{k_{m - 1}} {x_{m}}^{k_{m}} {x_{m + 1}}^{k_{m + 1}} \\ (refer the below described Annotation) \end{matrix}

を得る。最後の等号は

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, K}) (\binom{K}{k_{m}, k_{m + 1}}) = (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m - 1}, k_{m}, k_{m + 1}})

が成り立つことを用いたが、これは例えば階乗による表示を用いれば

\frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m - 1}! K!} \frac{K!}{k_{m}! k_{m + 1}!} = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m + 1}!}

と示せる。

応用例

一般ライプニッツ則

3個以上の函数の積の高階導函数に対しても、一般のライプニッツの法則を適用することができる：

$(f_{1} \dots f_{m})^{(n)} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) {f_{1}}^{(k_{1})} \dots {f_{m}}^{(k_{m})}$

参考文献

テンプレート:Reflist

外部リンク

テンプレート:高校数学の美しい物語
mutinom.m function in Specfun (since 1.1.0) package of Octave-Forge for GNU Octave. SVN version
テンプレート:SpringerEOM

多項定理

目次

定理の主張

証明

組合せ論的証明

指数について帰納法

項数について帰納法

応用例

一般ライプニッツ則

参考文献

関連項目

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