多項式の展開

数学において多項式の展開（たこうしきのてんかい、テンプレート:Lang-en-short）とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。

概要

分配法則

テンプレート:Math

を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、帰納法により、第二因子が テンプレート:Mvar 個の項の和である場合の分配法則を得る。

テンプレート:Math

第一因子も複数の項の和である場合、すなわち

テンプレート:Math

については、次のように計算される。

1. 第一因子を テンプレート:Mvar とおくと、テンプレート:Math となる
2. 分配法則により、これは テンプレート:Math に等しい
3. この式の第 テンプレート:Mvar 項は テンプレート:Math であり、再び分配法則を用いると、これは テンプレート:Math に等しい
4. よって、全体は テンプレート:Math に等しい

この結果を記号 テンプレート:Sum を用いて書くならば

$\left(\sum _{i=1}^m{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j\right)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_i{b}_j$

である。言葉で表現するならば、 テンプレート:Indent ということである。第一因子が テンプレート:Mvar 個の項の和、第二因子が テンプレート:Mvar 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは テンプレート:Mvar 通りであるから、展開した結果は テンプレート:Mvar 個の項の和になる。

3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、 テンプレート:Indent ことがしたがう。テンプレート:Mvar 個の多項式の積であって、テンプレート:Mvar 番目の多項式が テンプレート:Mvar 個の項の和であれば、展開した結果は テンプレート:Math 個の項の和になる。

具体例

テンプレート:Math を展開すると、テンプレート:Math となる。展開の様子は次の表のように表せる。

$\begin{array}{cccc}\times & a& b& c\\ x& ax& bx& cx\\ y& ay& by& cy\end{array}$

展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば テンプレート:Math を展開する場合の表は

$\begin{array}{ccc}\times & a& b\\ a& a^2& ab\\ -b& -ab& -b^2\end{array}$

であるが、テンプレート:Mvar と テンプレート:Math が打ち消しあうため、テンプレート:Math となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。

• テンプレート:Math
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右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。

冪級数への拡張

テンプレート:Main 多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$

についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は

$\left(\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^i\right)\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{x}^j\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j\right)x^k$

と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。

例

指数関数のテイラー展開

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$

の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、

$(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots {)}^2=1+2x+2x^2+\frac{4}{3}{x}^3+\cdots$

となるが、この右辺は テンプレート:Math すなわち テンプレート:Math のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、テンプレート:Mvar にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、

$(1-x)(1+x+x^2+x^3+\cdots )=1$

であるが、テンプレート:Math は テンプレート:Math の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 テンプレート:Math の解析接続は テンプレート:Math であり、これは テンプレート:Math のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。

関連項目

• 展開
• 二項定理
• 因数分解

外部リンク

• テンプレート:ProofWiki
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