総乗

総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 aテンプレート:Sub, aテンプレート:Sub, …, aテンプレート:Sub の総乗を

$\prod _{k=1}^n{a}_k=a_1\times a_2\times \cdots \times a_n$

などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xテンプレート:Sub)テンプレート:Sub 」とすることができる。この列の総乗を

$\prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}{x}_i=\prod _{k=1}^n{x}_k$

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1テンプレート:Sub を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1テンプレート:Sub であるとする。（空積も参照）

$\prod \mathrm{\varnothing }=\prod _{x\in \mathrm{\varnothing }}x=1_M$

積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、aテンプレート:Sub × aテンプレート:Sub × … × aテンプレート:Sub という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

• $p_1=a_1,$
• $p_{k+1}=p_k\times a_{k+1}$

このとき、$p_n=\prod _{k=1}^n{a}_k$ と書くことにすると、

$\prod _{k=1}^n{a}_k=(\cdots ((a_1\times a_2)\times a_3)\times \cdots \times a_n)$

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積

総和と同様に、可算無限列 $(x_n{)}_{n\in 𝖭}$ の総乗

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義

実数や複素数からなる可算列 $(x_n{)}_{n\in 𝖭}$ の無限乗積を定義する。無限乗積 $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ が収束するとは2条件

• ある番号 m から先では常に xテンプレート:Sub ≠ 0 (n > m)
• 部分積 pテンプレート:Sub := xテンプレート:Sub … xテンプレート:Sub (n > m) がゼロでない値 Pテンプレート:Sub に n → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいうテンプレート:Sfn。無限乗積 ${\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ が収束するとき、その値を

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n=x_1\cdots x_m{P}_m$

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limテンプレート:Sub xテンプレート:Sub = 1 が成り立つテンプレート:Sfn。

また数列 $(x_n{)}_{n\in 𝖭}$ に対して無限乗積 ${\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+|x_n|)$ が収束するとき、無限乗積 ${\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+x_n)$ は絶対収束するというテンプレート:Sfn。無限乗積 ${\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+x_n)$ が絶対収束するのは無限級数 ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ が絶対収束するとき、かつそのときに限るテンプレート:Sfn。

例

三角関数の無限乗積展開

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$

$\cos \pi z=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2}{)}^2}\}$

$\sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z^2}{n^2})$

$\cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{1+\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2}{)}^2}\}$

ウォリス積

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{\pi }{2}$

オイラー乗積

$\zeta (s)=\prod _{p:\text{prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}$

ガンマ関数

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}:=z{e}^{\gamma z}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{m})e^{-z/m},\gamma :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)$

($\gamma$はオイラーの定数である)。

qポッホハマー記号 。

$\begin{array}{cc}& (a;q{)}_{\mathrm{\infty }}:=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{q}^k),|q|<1,\\ & (a;q{)}_n:=\frac{(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(a{q}^n;q{)}_{\mathrm{\infty }}}.\\ \end{array}$

qガンマ関数

${\mathrm{\Gamma }}_q(x):=(1-q{)}^{1-x}\frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^x;q{)}_{\mathrm{\infty }}},|q|<1.$

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 総和
• 因数定理
• 階乗
• 超階乗