一般のライプニッツの法則

テンプレート:Calculus 数学の微分積分学において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則（いっぱんのライプニッツのほうそく、テンプレート:Lang-en-short^[1]；一般ライプニッツ則）あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則（これもまたライプニッツの法則と呼ばれる）の一般化であり、テンプレート:Math2 をテンプレート:Mvar回微分可能な関数とするとき、それらの積テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar階微分が

(f g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(k)} g^{(n - k)}

で与えられることを述べるものである。ここでテンプレート:Math は二項係数である。ドイツの哲学者・数学者のゴットフリート・ライプニッツの名に因む。

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。

例

テンプレート:Math のとき (積の微分法則): $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
テンプレート:Math のとき: $(f g)^{″} = f^{″} g + 2 f^{'} g^{'} + f g^{″}$
テンプレート:Math のとき: $(f g)^{‴} = f^{‴} g + 3 f^{″} g^{'} + 3 f^{'} g^{″} + f g^{‴}$

各項の係数は二項定理と同様に二項係数となり、パスカルの三角形から求めることができる。テンプレート:-

多因子版

テンプレート:Math2 がテンプレート:Mvar個のテンプレート:Mvar階微分可能函数のとき、

(f_{1} f_{2} \dots f_{m})^{(n)} = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) f_{1}^{(k_{1})} f_{2}^{(k_{2})} \dots f_{m}^{(k_{m})}

と書ける。

ここで、 $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m}!}$ は多項係数である。テンプレート:See also

多変数版

多重指数記法を使い、より一般に

\partial^{α} (f g) = \sum_{β \leq α} (\binom{α}{β}) (\partial^{α - β} f) (\partial^{β} g)

の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、テンプレート:Mvar を（係数が十分多くの回数微分可能であるような）微分作用素とし、テンプレート:Math とするとき、テンプレート:Mvar もまた微分作用素であり、テンプレート:Mvar の表象が $R (x, ξ) = e^{- ⟨ x, ξ ⟩} R (e^{⟨ x, ξ ⟩})$ で与えられるから、ここに直接計算によって

R (x, ξ) = \sum_{α} \frac{1}{α!} {(\frac{\partial}{\partial ξ})}^{α} P (x, ξ) {(\frac{\partial}{\partial x})}^{α} Q (x, ξ)

を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間には環の構造が入る。

注釈

テンプレート:Reflist

外部リンク

↑ Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

[1] Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

[1]

一般のライプニッツの法則

目次

例

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