多項分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = 多項分布
|型 = 質量
|画像/確率関数 =
|画像/分布関数 =
|母数 = 試行回数 <math>n>0</math>（[[整数]]）<br />各試行の確率 <math>p_1 ,\cdots ,p_k</math> (<math>\Sigma p_i =1</math>)
|台 = <math>x_i \in \{ 0,\cdots ,n\} ,\, \, \, \, i\in \{ 1,\cdots ,k\}</math><br /><math>\Sigma x_i =n</math>
|確率関数 = <math>\frac{n!}{x_1 !\cdots x_k !} {p_1}^{x_1} \cdots {p_k}^{x_k}</math>
|分布関数 =
|期待値 = <math>E[X_i ]=np_i</math>
|中央値 =
|最頻値 =
|分散 = <math>\operatorname{Var} [X_i ]=np_i (1-p_i )</math><br /><math>\operatorname{Cov} [X_i ,X_j ]=-np_i p_j~~ (i\neq j)</math>
|歪度 =
|尖度 =
|エントロピー =
|モーメント母関数 = <math>\biggl( \sum_{i=1}^k p_i e^{t_i} \biggr)^n</math>
|特性関数 = <math>\left( \sum_{j=1}^k p_j e^{it_j} \right)^n</math> where <math>i^2 =-1</math>
|pgf = <math>\biggl( \sum_{i=1}^k p_i z_i \biggr)^n \text{ for } (z_1 ,\cdots ,z_k )\in \mathbb{C}^k</math>
}}
'''多項分布'''（たこうぶんぷ、{{lang-en-short|multinomial distribution}}）は、[[確率論]]において[[二項分布]]を一般化した[[確率分布]]である。

二項分布は、{{mvar|n}} 個の独立な[[ベルヌーイ試行]]の「成功」の数の[[確率分布]]であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個（{{mvar|k}} 個）の値をとり、それぞれの値をとる確率は {{math2|''p''{{sub|1}}, …, ''p{{sub|k}}''}}（すなわち、{{math2|''i'' {{=}} 1, …, ''k''}} について {{math2|''p{{sub|i}}'' ≥ 0}} であり、<math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^k p_i = 1</math> が成り立つ）であり、{{mvar|n}} 回の独立した試行が行われる。確率変数 {{mvar|X{{sub|i}}}} は {{mvar|n}} 回の試行で {{mvar|i}} という数が出る回数を示す。{{math2|''X'' {{=}} (''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|k}}'')}} は {{mvar|n}} と {{mvar|p}} をパラメータとする多項分布に従う。

== 確率質量関数 ==
多項分布の[[確率質量関数]]は次の通りである。
:<math>f(x_1 ,\cdots ,x_k ;n,p_1 ,\cdots ,p_k )=\begin{cases}
\dfrac{n!}{x_1 !\cdots x_k !} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} &\text{when } \sum\limits_{i=1}^k x_i =n \\[1ex]
0 &\text{otherwise.}
\end{cases}</math>
ここで、{{math2|''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|k}}''}} は負でない整数である。

== 属性 ==
[[期待値]]は次の通り。
:<math>\operatorname{E} [X_i ]=np_i.</math>
[[共分散行列]]は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の[[分散 (確率論)|分散]]であるから、次のようになる。
:<math>\operatorname{var} [X_i ]=np_i (1-p_i ).</math>
対角線以外のエントリは[[共分散]]であり、次のようになる。
:<math>\operatorname{cov} [X_i ,X_j ]=-np_i p_j</math>
ここで、{{math2|''i'' ≠ ''j''}} である。

共分散は全体として負となる。なぜなら、{{mvar|N}} が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。

これは、{{math|''k'' × ''k''}} の非負値定符号行列であり、[[行列の階数]]は {{math2|''k'' &minus; 1}} である。

対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。
:<math>\rho [X_i ,X_j ]=-\sqrt{\frac{p_i p_j}{(1-p_i )(1-p_j )}}.</math>
この表現では標本サイズ {{mvar|n}} が出現しない点に注意されたい。

{{mvar|k}}個の要素それぞれは {{mvar|n}} と {{mvar|p{{sub|i}}}}（{{mvar|i}} 番目の要素に対応する確率）をパラメータとする二項分布となる。

多項分布のサポートは集合 <math>\{ (n_1 ,\cdots ,n_k )\in \mathbb{N}^k \mid n_1 +\cdots +n_k =n\}</math> である。その要素数は <math>\binom{n+k-1}{k-1} =\left\langle \begin{matrix}
  n \\
  k
\end{matrix} \right\rangle</math> である（[[重複組合せ]]）。

== 関連する分布 ==
* {{math2|''k'' {{=}} 2}} の多項分布を[[二項分布]]と呼ぶ。
* [[ベイズ統計]]での多項の[[共役事前分布]]を[[ディリクレ分布]]と呼ぶ。

== 関連項目 ==
* [[多項定理]]
* [[壺問題]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1282|多項分布の意味と平均，分散，共分散などの計算}}
* [http://library.thinkquest.org/10030/6dpdmd.htm Discrete Probability Distribution - Multinomial Distribution]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:たこうふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]