多項定理のソースを表示

[[数学]]における'''多項定理'''（たこうていり、{{lang-en-short|''multinomial theorem''}}）とは、多項和 (multinomial) の冪を[[多項式の展開|展開]]した式を表すものである。[[二項定理]]において項数を一般化したものである。

== 定理の主張 ==
'''多項公式''' (multinomial formula) とは、正整数 {{mvar|m}}, 非負整数 {{mvar|n}} に対して、{{mvar|m}}項和の任意の {{mvar|n}}-冪を展開すると
: <math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \textstyle\sum\limits_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} \dbinom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} {x_1}^{k_1} {x_2}^{k_2} \dotsb {x_m}^{k_m}</math>
となることを示すものである。ここで係数 {{math2|{{binom|''n''|''k''{{sub|1}}, …, ''k{{sub|m}}''}}}} は[[多項係数]]と呼ばれ、
:<math>\binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}</math>
となる。また、{{math2|''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}, …, ''k{{sub|m}}''}} は非負整数であり、総和は {{math2|''k''{{sub|1}} + ''k''{{sub|2}} + … + ''k{{sub|m}}'' {{=}} ''n''}} となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は {{mvar|n}} となる。また、{{math|''x''{{sup|0}}}} はここでは、[[二項定理]]の場合と同様に、（{{mvar|x}} が零のときも含めて恒等的に）{{math|1}} と定義している。
* {{math2|''m'' {{=}} 2}} のとき、主張は二項定理である。

[[多重指数|多重添字記法]]を用いると、定理の主張は
: <math>(x_1+\cdots+x_m)^n = \textstyle\sum\limits_{|\alpha|=n} \dbinom{n}\alpha x^\alpha</math>
略記できる。ここに、{{math2|1=α = (α{{sub|1}}, α{{sub|2}}, …, α{{sub|''m''}}), ''x'' = (''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …, ''x{{sub|m}}'')}} であって、{{math2|''x''{{sup|α}} {{=}} ''x''{{su|b=1|p=α{{sub|1}}}}&thinsp;''x''{{su|b=2|p=α{{sub|2}}}}&sdot; ⋯ &sdot;''x''{{su|b=''m''|p=α{{sub|''m''}}}}}} および {{math2|1={{abs|α}} = α{{sub|1}} + α{{sub|2}} + … + α{{sub|''m''}}, α! = α{{sub|1}}!&thinsp;α{{sub|2}}! &sdot; … &sdot; α{{sub|''m''}}!}} に対して {{math2|1=({{su|p=''n''|b=α|a=c}}) = {{sfrac|''n''!|α!}} = {{sfrac|{{abs|α}}|α!}}}} である。

例えば、<math>(a+b+c)^3</math> を展開すると、次のようになる：
:<math>\begin{align}
(a+b+c)^3 &=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) \\
  &=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2+6abc
\end{align}</math>

== 証明 ==
=== 組合せ論的証明 ===
二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。

{{mvar|n}}個の {{math2|(''x''{{sub|1}} + ''x''{{sub|1}} + … + ''x{{sub|m}}'')}} の積を一度に展開し切ることを考える。
:<math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \underbrace{(x_1 + x_2 + \cdots + x_m) \cdots (x_1 + x_2 + \cdots + x_m)}_{n \text{ factors}}</math>
一度に展開すると、それぞれの {{math2|(''x''{{sub|1}} + ''x''{{sub|1}} + … + ''x{{sub|m}}'')}} から {{math2|''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|m}}''}} の1つだけを取った文字 {{mvar|n}}個の[[総乗]]の[[総和]]となる。

これらの積のうち、並び替えて {{math2|1=''x''{{sub|1}}{{sup|''k''{{sub|1}}}}…''x{{sub|m}}{{sup|k{{sub|m}}}}'' (''k''{{sub|1}} + … + ''k{{sub|m}}'' = ''n'')}} になるものは、{{math2|''k''{{sub|1}}}}個の {{math|''x''{{sub|1}}}}、…、{{mvar|k{{sub|m}}}}個の {{mvar|x{{sub|m}}}} を並べる場合の数だけあるから、多項係数 {{math|{{binom|''n''|''k''{{sub|1}}, …, ''k{{sub|m}}''}}}}、すなわち {{math2|1=''x''{{sub|1}}{{sup|''k''{{sub|1}}}}…''x{{sub|m}}{{sup|k{{sub|m}}}}''}} の係数は {{math2|{{sfrac|''n''!|''k''{{sub|1}}!…''k{{sub|m}}''!}}}} となる。

=== 指数について帰納法 ===
二項定理と同様に、指数 {{mvar|n}} についての[[数学的帰納法]]で証明できる。

{{math2|1=''n'' =1}} のとき、
:<math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^1 = 1x_1 + 1x_2 + \cdots + 1x_m,</math>
:<math>\frac{1!}{1!\, 0!\,\cdots 0!} = 1</math>
より成り立つ。

ある {{mvar|n}} について成り立つと仮定する。
:<math>(x_1 + \cdots + x_m)^n = \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m}</math>
より、
:<math>\hphantom{=} \; (x_1 + \cdots + x_m)^{n+1}</math>
:<math>= (x_1 + \cdots + x_m)(x_1 + \cdots + x_m)^n</math>
:<math>= (x_1 + \cdots + x_m)\textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m}</math>
:<math>=x_1 \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m} + x_m \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m}</math>
:<math>= \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1+1} {x_2}^{k_2} \cdots {x_m}^{k_m} + \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_m}^{k_m+1}</math>
:<math>= \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n+1 \atop k_1 \geq 1} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m} + \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n \atop k_m \geq 1} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m}</math>
:<math>= \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n+1} \dbinom{n}{k_1-1,k_2,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m} + \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n+1} \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_{m-1},k_m-1} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m}</math>
:<math>\left( \because \binom{n}{\cdots,-1,\cdots} =0 \right)</math>
:<math>= \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n+1} \left[ \dbinom{n}{k_1-1,k_2,\cdots,k_m} + \cdots + \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_{m-1},k_m-1} \right] {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m}</math>
:<math>= \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n+1} \dbinom{n+1}{k_1,\cdots,k_m} {x_1}^{k_1} \cdots {x_m}^{k_m}</math>
最後の等号は
: <math>\dbinom{n+1}{k_1,\cdots,k_m} = \dbinom{n}{k_1-1,k_2,\cdots,k_m} + \cdots + \dbinom{n}{k_1,\cdots,k_{m-1},k_m-1}</math>
が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗表示：
:<math>\frac{n!}{(k_1-1)! k_2! \cdots k_{m-1}!} + \cdots \frac{n!}{k_1! \cdots k_{m-1}! (k_m-1)!}</math>
を通分すると左辺になることが示せる。

=== 項数について帰納法 ===
[[二項定理]]を既知とすると、項数 {{mvar|m}} について数学的帰納法により証明できる。

まず {{math2|''m'' {{=}} 1}} のとき、{{math2|''k''{{sub|1}} {{=}} ''n''}} であり両辺は単項で {{math| ''x''{{sub|1}}{{sup|''n''}}}} に等しい。

次に、{{mvar|m}} に対して多項定理が成り立つと仮定する。
: <math>(x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = (x_1+x_2+\cdots+x_{m-1}+(x_m+x_{m+1}))^n</math>
に帰納法の仮定を適用して
: <math>\begin{align}
  &= \textstyle\sum\limits_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n} \dbinom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} {x_1}^{k_1}{x_2}^{k_2} \cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}} (x_m+x_{m+1})^K \\
  &= \textstyle\sum\limits_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n} \left( \dbinom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} {x_1}^{k_1}{x_2}^{k_2} \cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}} \sum\limits_{k_m+k_{m+1}=K} \dbinom{K}{k_m,k_{m+1}} {x_m}^{k_m}{x_{m+1}}^{k_{m+1}} \right) \\
  &(\text{binomial theorem}) \\
  &= \textstyle\sum\limits_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n} \sum\limits_{k_m+k_{m+1}=K} \dbinom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} \dbinom{K}{k_m,k_{m+1}} {x_1}^{k_1}{x_2}^{k_2} \cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}} {x_m}^{k_m}{x_{m+1}}^{k_{m+1}} \\
  &= \textstyle\sum\limits_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+k_m+k_{m+1}=n} \dbinom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}} {x_1}^{k_1}{x_2}^{k_2}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_m}^{k_m}{x_{m+1}}^{k_{m+1}} \\
  &(\text{refer the below described Annotation}) \\
\end{align}</math>
を得る。最後の等号は
:<math>\binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K}\binom{K}{k_m,k_{m+1}} = \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}}</math>
が成り立つことを用いたが、これは例えば階乗による表示を用いれば
:<math>\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m-1}!K!} \frac{K!}{k_m! k_{m+1}!}=\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m+1}!}</math>
と示せる。

== 応用例 ==
=== 一般ライプニッツ則 ===
3個以上の函数の積の高階導函数に対しても、[[一般のライプニッツの法則]]を適用することができる：
* <math>(f_1 \cdots f_m)^{(n)} = \textstyle\sum\limits_{k_1+\cdots+k_m=n} \dbinom{n}{k_1, \cdots, k_m} {f_1}^{(k_1)} \cdots {f_m}^{(k_m)}</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[多項分布]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1281|多項定理の例題と2通りの証明}}
* <code>mutinom.m</code> function in [https://octave.sourceforge.io/specfun/ Specfun] (since 1.1.0) package of [https://octave.sourceforge.io/ Octave-Forge] for [[GNU Octave]]. [https://sourceforge.net/projects/octave/ SVN version]
* {{SpringerEOM|title=Multinomial coefficient|urlname=Multinomial_coefficient}}

{{DEFAULTSORT:たこうていり}}
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]