多項式の展開のソースを表示

[[数学]]において'''多項式の展開'''（たこうしきのてんかい、{{lang-en-short|''polynomial expansion''}}）とは、複数の[[多項式]]の積を一つの多項式で表すことをいう。これは[[因数分解]]と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は[[分配法則]]を用いて機械的に行うことができる。この法則は、[[コーシー積|級数に対するもの]]に自然に拡張される。

== 概要 ==
分配法則
: {{math|1=''a''(''b'' + ''c'') = ''ab'' + ''ac''}}
を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、[[数学的帰納法|帰納法]]により、第二因子が {{mvar|n}} 個の項の和である場合の分配法則を得る。
: {{math|1=''a''(''b''{{sub|1}} + ⋯ + ''b''{{sub|''n''}}) = ''ab''{{sub|1}} + ⋯ + ''ab''{{sub|''n''}}}}
第一因子も複数の項の和である場合、すなわち
: {{math|(''a''{{sub|1}} + ⋯ + ''a''{{sub|''m''}})(''b''{{sub|1}} + ⋯ + ''b''{{sub|''n''}})}}
については、次のように計算される。
#第一因子を {{mvar|A}} とおくと、{{math|''A''(''b''{{sub|1}} + ⋯ + ''b''{{sub|''n''}})}} となる
#分配法則により、これは {{math|''Ab''{{sub|1}} + ⋯ + ''Ab''{{sub|''n''}}}} に等しい
#この式の第 {{mvar|i}} 項は {{math|(''a''{{sub|1}} + ⋯ + ''a''{{sub|''m''}})''b''{{sub|''i''}}}} であり、再び分配法則を用いると、これは {{math|''a''{{sub|1}}''b''{{sub|''i''}} + ⋯ + ''a''{{sub|''m''}}''b''{{sub|''i''}}}} に等しい
#よって、全体は {{math|(''a''{{sub|1}}''b''{{sub|1}} + ⋯ + ''a''{{sub|''m''}}''b''{{sub|1}}) + ⋯ + (''a''{{sub|1}}''b''{{sub|''n''}} + ⋯ + ''a''{{sub|''m''}}''b''{{sub|''n''}})}} に等しい
この結果を記号 {{sum}} を用いて書くならば
:<math>\Bigl( \sum_{i=1}^m a_i \Bigr)\Bigl( \sum_{j=1}^n b_j \Bigr) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j</math>
である。言葉で表現するならば、
{{Indent|第一因子の項と第二因子の項、全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である}}
ということである。第一因子が {{mvar|m}} 個の項の和、第二因子が {{mvar|n}} 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは {{mvar|mn}} 通りであるから、展開した結果は {{mvar|mn}} 個の項の和になる。

3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、
{{Indent|それぞれの因子からひとつずつ項を選ぶ、その全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である}}
ことがしたがう。{{mvar|k}} 個の多項式の積であって、{{mvar|i}} 番目の多項式が {{mvar|n{{sub|i}}}} 個の項の和であれば、展開した結果は {{math|''n''{{sub|1}} ⋯ ''n''{{sub|''k''}}}} 個の項の和になる。

== 具体例 ==
{{math|(''a'' + ''b'' + ''c'')(''x'' + ''y'')}} を展開すると、{{math|''ax'' + ''ay'' + ''bx'' + ''by'' + ''cx'' + ''cy''}} となる。展開の様子は次の表のように表せる。
:<math>\begin{array}{c|cc}
\times & a & b & c \\\hline
x & ax & bx & cx \\
y & ay & by & cy
\end{array}</math>
展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば {{math|(''a'' + ''b'')(''a'' − ''b'')}} を展開する場合の表は
:<math>\begin{array}{c|cc}
\times & a & b \\\hline
a & a^2 & ab \\
-b & -ab & -b^2
\end{array}</math>
であるが、{{mvar|ab}} と {{math|-''ab''}} が打ち消しあうため、{{math|''a''{{exp|2}} − ''b''{{exp|2}}}} となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を[[公式]]として教授することが多い。
* {{math|1=(''a'' + ''b'')(''a'' − ''b'') = ''a''{{exp|2}} − ''b''{{exp|2}}}}
* {{math|1=(''a'' + ''b'')(''a''{{exp|2}} − ''ab'' + ''b''{{exp|2}}) = ''a''{{exp|3}} + ''b''{{exp|3}}}}
* {{math|1=(''a'' + ''b''){{exp|2}} = ''a''{{exp|2}} + 2''ab'' + ''b''{{exp|2}}}}
右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。

== 冪級数への拡張 ==
{{main|コーシー積}}
多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）[[冪級数]]に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1[[変数 (数学)|変数]]の冪級数
:<math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\dotsb</math>
についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は
:<math>\Bigl( \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \Bigr) \Bigl( \sum_{j=0}^\infty b_j x^j \Bigr)=\sum_{k=0}^\infty \Bigl( \sum_{i+j=k}a_i b_j \Bigr) x^k</math>
と定義される。冪級数をその[[冪級数#概要|収束域]]に対する[[関数 (数学)|関数]]とみなした場合、これは関数の積に対応する。

=== 例 ===
[[指数関数]]の[[テイラー展開]]
:<math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dotsb</math>
の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、
:<math>\biggl( 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dotsb \biggr)^{\!2}=1+2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3+\dotsb</math>
となるが、この右辺は {{math|(''e''{{exp|''x''}}){{exp|2}}}} すなわち {{math|''e''{{exp|2''x''}}}} のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、{{mvar|x}} にいかなる[[複素数]]を代入しても[[極限|収束]]するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、
:<math>(1-x)(1+x+x^2+x^3+\dotsb)=1</math>
であるが、{{math|1 + ''x'' + ''x''{{exp|2}} + ''x''{{exp|3}} + ⋯}} は {{math|{{abs|''x''}} &lt; 1}} の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、[[複素関数]] {{math|1 + ''x'' + ''x''{{exp|2}} + ''x''{{exp|3}} + ⋯}} の[[解析接続]]は {{math|1/(1 − ''x'')}} であり、これは {{math|1=''x'' = 1}} のみを1位の[[極 (複素解析)|極]]に持ち、その他の点で[[正則関数|正則]]である。

== 関連項目 ==
*[[展開]]
*[[二項定理]]
*[[因数分解]]

== 外部リンク ==
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Multiplication_of_Polynomials|title=Definition:Multiplication of Polynomials}}
* {{ProofWiki|urlname=Coefficients_of_Polynomial_Product|title=Coefficients of Polynomial Product}}

{{polynomials}}
{{DEFAULTSORT:たこうしきのてんかい}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]