安定ホモトピー理論のソースを表示

[[数学]]において、'''安定ホモトピー理論'''（あんていホモトピーりろん、''Stable homotopy theory''）とは、ホモトピー理論（したがって[[代数的位相幾何学|代数的トポロジー]]）の一分野で、[[懸垂 (位相幾何学)|懸垂]]を複数回適用した後に残る構造や現象を考える分野である。主な結果として、 [[Freudenthalの懸垂定理]]があり、これは、任意の[[点付き空間|点付き空間 <math>X</math>]] が与えられたとき、ホモトピー群 <math>\pi_{n+k}(\Sigma^n X)</math> が十分に大きい<math>n</math>で安定するということを述べている。特に、[[球面のホモトピー群]] <math>\pi_{n+k}(S^n)</math> は <math>n\ge k + 2</math> で安定する 。例えば、

: <math>\langle \text{id}_{S^1}\rangle = \Z = \pi_1(S^1)\cong \pi_2(S^2)\cong \pi_3(S^3)\cong\cdots</math>
: <math>\langle \eta \rangle = \Z = \pi_3(S^2)\to \pi_4(S^3)\cong \pi_5(S^4)\cong\cdots</math>

上の2つの例では、ホモトピー群の間のすべての写像は[[懸垂 (位相幾何学)|懸垂]]の応用である。最初の例は、[[フレヴィッツの定理]]、 <math>\pi_n(S^n)\cong \Z</math> の結果である。 2番目の例は、 [[ホップ・ファイブレーション|Hopf写像]] <math>\eta</math> 、その懸垂 <math>\Sigma\eta</math> への写像で、<math>\pi_4(S^3)\cong \Z/2</math> を生成する。

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