安定ホモトピー理論

数学において、安定ホモトピー理論（あんていホモトピーりろん、Stable homotopy theory）とは、ホモトピー理論（したがって代数的トポロジー）の一分野で、懸垂を複数回適用した後に残る構造や現象を考える分野である。主な結果として、 Freudenthalの懸垂定理があり、これは、任意の点付き空間 $X$ が与えられたとき、ホモトピー群 ${\pi }_{n+k}({\mathrm{\Sigma }}^{n}X)$ が十分に大きい$n$で安定するということを述べている。特に、球面のホモトピー群 ${\pi }_{n+k}(S^n)$ は $n\ge k+2$ で安定する 。例えば、

$⟨{\text{id}}_{S^1}⟩=\mathbb{Z}={\pi }_1(S^1)\cong {\pi }_2(S^2)\cong {\pi }_3(S^3)\cong \cdots$

$⟨\eta ⟩=\mathbb{Z}={\pi }_3(S^2)\to {\pi }_4(S^3)\cong {\pi }_5(S^4)\cong \cdots$

上の2つの例では、ホモトピー群の間のすべての写像は懸垂の応用である。最初の例は、フレヴィッツの定理、 ${\pi }_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$ の結果である。 2番目の例は、 Hopf写像 $\eta$ 、その懸垂 $\mathrm{\Sigma }\eta$ への写像で、${\pi }_4(S^3)\cong \mathbb{Z}/2$ を生成する。