懸垂 (位相幾何学)

位相幾何学において，位相空間 テンプレート:Mvar の懸垂（テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Mvar とは，テンプレート:Mvar と単位区間 テンプレート:Math の積空間の商空間

$SX=(X\times I)/\{(x_1,0)\sim (x_2,0)\text{ and }(x_1,1)\sim (x_2,1)\text{ for all }{x}_1,x_2\in X\}.$

円の懸垂．もとの空間は青色で，押しつぶされた端点は緑色．

である．したがって，テンプレート:Mvar は円柱に引き伸ばされ，そして両端が点に押しつぶされる．テンプレート:Mvar を端点の間に「ぶらさがっている」(suspended) と見る．懸垂を テンプレート:Mvar 上の2つの錐を base でテンプレート:仮リンクもの（あるいは1つの錐の商）とも見られる．

連続写像 テンプレート:Math が与えられると，テンプレート:Math によって定義される写像 テンプレート:Math が存在する．これにより テンプレート:Mvar は位相空間の圏から自身への関手となる．荒っぽく言えば，テンプレート:Mvar は空間の次元を 1 増やす：それは テンプレート:Math に対して テンプレート:Mvar 次元球面を テンプレート:Math 次元球面に写す．

空間 テンプレート:Mvar は テンプレート:仮リンク $X\star S^0$ に同相である，ただし テンプレート:Math は2点離散空間である．

空間 テンプレート:Mvar は，下記の約懸垂と区別するために，テンプレート:Mvar の unreduced, unbased, or free suspension と呼ばれることもある．

懸垂はホモトピー群の準同型を構成するのに使うことができ，それにはテンプレート:仮リンクを適用できる．ホモトピー論では，適切な意味で懸垂で保たれる現象はテンプレート:仮リンクを作る．

約懸垂

テンプレート:Mvar が（テンプレート:Math を基点に持つ）基点付き空間のとき，ときどきより有用な，懸垂の変種がある．テンプレート:Mvar の約懸垂 (reduced suspension, based suspension) テンプレート:Math とは，接着空間

$\mathrm{\Sigma }X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_0\}\times I)$

である．これは テンプレート:Mvar をとり，2端点を結ぶ線分 テンプレート:Math を一点に押しつぶすことと同値である．テンプレート:Math の基点は テンプレート:Math の同値類である．

テンプレート:Mvar の約懸垂は テンプレート:Mvar の単位円 テンプレート:Math とのスマッシュ積に同相である

$\mathrm{\Sigma }X\cong S^1\wedge X$

ことを示すことができる．

CW複体のようなテンプレート:仮リンク空間に対しては，テンプレート:Mvar の約懸垂は通常の懸垂とホモトピー同値である．

テンプレート:Math は基点付き空間の圏から自身への関手を生じる．この関手の重要な性質は，（基点付き）空間 テンプレート:Mvar をそのテンプレート:仮リンク テンプレート:Math に送る関手 テンプレート:Math の左随伴であることである．言い換えると，自然に

${\mathrm{Maps}}_{*}(\mathrm{\Sigma }X,Y)\cong {\mathrm{Maps}}_{*}(X,\mathrm{\Omega }Y)$

である，ただし ${\mathrm{Maps}}_{*}(X,Y)$ は基点を保つ連続写像全体である．この随伴はデカルト積上の写像をカリー化された形に送るテンプレート:仮リンクの形と理解でき，テンプレート:仮リンク の例である．これは懸垂と自由ループ空間に対しては成り立たない．

Desuspension

テンプレート:仮リンク は懸垂の逆である操作である．

関連項目

• 錐 (位相幾何学)
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• テンプレート:PlanetMath attribution