安定分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = 安定分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Levy distributionPDF.png|275px|対称安定分布のPDF]]<br />{{small|特性指数 ({{mvar|α}}) を変えた場合。{{mvar|μ}}：位置母数, {{mvar|c}}：尺度母数}}<br />[[画像:Levyskew distributionPDF.png|275px|非対称安定分布のPDF]]<br />{{small|歪度指数 ({{mvar|β}}) を変えた場合。{{mvar|μ}}：位置母数, {{mvar|c}}：尺度母数}}
|画像/分布関数 = [[画像:Levy distributionCDF.png|275px|対称安定分布のCDF]]<br />{{small|特性指数 ({{mvar|α}}) を変えた場合。{{mvar|μ}}：位置母数, {{mvar|c}}：尺度母数}}<br />[[画像:Levyskew distributionCDF.png|275px|非対称安定分布のCDF]]<br />{{small|歪度指数 ({{mvar|β}}) を変えた場合。{{mvar|μ}}：位置母数, {{mvar|c}}：尺度母数}}
|母数 = {{math2|''α'' ∈ (0, 2]}} — 特性指数<br />{{math2|''β'' ∈ [&minus;1, 1]}}  — 歪度指数<br />{{math2|''γ'' ∈ (0, ∞)}}  — {{ill|尺度母数|en|Scale parameter}}<br />{{math2|''δ'' ∈ (&minus;∞, ∞)}} — {{ill|位置母数|en|Location parameter}}
|台 = {{math|''α'' < 1}} かつ {{math|''β'' {{=}} 1}} の場合<br />{{math|[''δ'', ∞)}}<br />{{math|''α'' < 1}} かつ {{math|''β'' {{=}} &minus;1}} の場合<br />{{math|(&minus;∞, ''δ'']}}<br />その他の場合、<math>\mathbb{R}</math>
|確率関数 = 特別な場合を除き<br />解析的な数式表現は不可能
|分布関数 = 特別な場合を除き<br />解析的な数式表現は不可能
|期待値 = {{math2|α > 1}} のとき、{{mvar|δ}}<br />その他の場合、なし
|中央値 = {{math|''β'' {{=}} 0}} のとき、{{mvar|δ}}<br />その他の場合、数式表現不可
|最頻値 = {{math|''β'' {{=}} 0}} のとき、{{mvar|δ}}<br />その他の場合、数式表現不可
|分散 = {{math|''α'' {{=}} 2}} のとき、{{math|2''γ''}}<br />その他の場合、{{math|∞}}（無限大）
|歪度 = {{math|''α'' {{=}} 2}} のとき、{{math|0}} 
|尖度 = {{math|''α'' {{=}} 2}} のとき、{{math|0}}
|entropy = 特別なケースを除き<br />解析的な数式表現は不可能
|モーメント母関数 = なし
|特性関数 = 本文参照のこと
}}
'''安定分布'''（あんていぶんぷ、{{lang-en-short|stable distribution}}） は、[[正規分布]]や[[コーシー分布]]を含むより広い概念であり、安定分布に従う[[確率変数]]の和は適当な[[一次変換]]によって元の分布になる。正規分布やコーシー分布は安定分布の特別な場合である。'''安定パレート分布''' ({{lang-en-short|stable pareto distribution}})、'''[[レヴィ分布]]''' ({{lang-en-short|Lévy distribution}}) とも呼ばれる。

== 定義 ==
[[退化分布]]を除き、次の性質を満たす分布は安定分布である。
{{ref_harvard|NolanWeb1|Nolan 2009|}}.
:{{math|''X''{{sub|1}}}} と {{math|''X''{{sub|2}}}} を確率変数 {{mvar|X}} の独立な複製 (copy) とする。確率変数 {{math|''aX''{{sub|1}} + ''bX''{{sub|2}}}}（{{mvar|a}} と {{mvar|b}} は定数）が {{math|''cX'' + ''d''}}（{{mvar|c}} と {{mvar|d}} は定数）と同一な分布であるとき、確率変数 {{mvar|X}} は '''安定''' であると言い、{{math2|''d'' {{=}} 0}} のとき、この分布は ''厳密に安定'' であると言う。
:<math>aX_1 +bX_2 \; \overset{\underset{\mathrm{d}}{}}{=} \; cX+d</math>

=== 確率密度関数 ===
安定分布の確率密度関数を解析的に書くことはできないが、[[特性関数 (確率論)|特性関数]] {{math|''ψ''(''t'')}} を用いて次のように書くことができる。
:<math>f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \varphi (t)e^{-ixt} \, dt</math>
これを利用して数値計算（数値積分）が可能である。

=== 特性関数 ===
分布の[[特性関数 (確率論)|特性関数]] {{math|''ψ''(''z'')}} は、4つのパラメータ {{math2|''α'', ''β'', ''γ'', ''δ''}} によって以下のように表すことができる。
:<math>\varphi (z)=\exp \left[ i\delta z-\gamma |z|^\alpha \left\{ 1+i\beta \sgn (z) \omega (z,\alpha )\right\} \right]</math><br />
<math>\omega(z,\alpha )=\left\{ \begin{matrix}
    \tan \frac{\pi \alpha}{2} & (\alpha \neq 1) \\
    \frac{2}{\pi} \log |z|    & (\alpha = 1)
  \end{matrix} \right.</math>
ただし、{{math2|0 < ''α'' ≤ 2, &minus;1 ≤ ''β'' ≤ 1, ''γ'' > 0}}、{{math|sgn (''x'')}} は {{mvar|x}} の[[符号関数]]。<br />
{{mvar|α}} は[[特性指数]]と呼ばれ、{{math2|0 < ''α'' ≤ 2}} の範囲の値をとる安定分布を特徴づける最も重要な量である。安定分布の[[指数]]という場合は通常この {{mvar|α}} のことを指す。{{mvar|α}} は[[確率分布|分布]]の裾の厚みの尺度であり、小さいほど裾が広い。歪度指数、あるいは非対称パラメータとも呼ばれる {{mvar|β}} は分布の対称性を支配し {{math2|&minus;1 ≤ ''β'' ≤ 1}} の値をとり、{{math2|''β'' {{=}} 0}} のときは左右対称な分布となる。位置母数 {{mvar|δ}} は分布全体を[[平行移動]]するパラメータである。規模母数 {{mvar|γ}} は {{mvar|X}} の縮尺を変更する[[パラメータ]]である。

== 特別なケース ==
=== 正規分布 ===
{{math2|''α'' {{=}} 2}} の場合、（この場合、{{mvar|β}} は分布に影響を与えない）
:<math>\varphi (z)=\exp \left( i\delta z-\gamma z^2 \right)</math>
となる。これは、[[平均]] {{mvar|δ}}、[[分散 (確率論)|分散]] {{math|2''γ''}} の[[正規分布]]である。

=== Holtsmark分布 ===
{{math|''α'' {{=}} {{sfrac|3|2}}, ''β'' {{=}} 0}} の場合、{{仮リンク|Holtsmark distribution|en|Holtsmark distribution}} となる。この分布は{{仮リンク|一般超幾何関数|en|Generalized hypergeometric function}}を使用することにより確率密度関数を記述できる。

=== コーシー分布 ===
{{math2|''α'' {{=}} 1, ''β'' {{=}} 0}} の場合
:<math>\varphi (z)=\exp \left( i\delta z-\gamma |z|\right)</math>
となる。これは中央値 {{mvar|δ}}、尺度母数 {{mvar|γ}} の[[コーシー分布]]である。

=== （狭義）レヴィ分布 ===
{{math2|''α'' {{=}} 0.5, ''β'' {{=}} 1}} の場合
:<math>\varphi (z)=\exp \left[ i\delta z-\gamma \sqrt{|z|} \left\{ 1+i\sgn (z)\right\} \right]</math>
となる。これは（狭義）[[レヴィ分布]]である。

== 一般化中心極限定理 ==
[[中心極限定理]]では、[[独立同分布]]（ただし分散は有限に限る）に従う確率変数の算術平均の確率分布は、変数の数が多くなるに従い正規分布に収束するが、安定分布において {{math2|0 < α < 2}} の場合は分散が無限大となり、正規分布には収束せず安定分布 <math>\varphi (x;\alpha ,0,c,0)</math> に収束する。
{{ref_harvard|Voit2003|Voit 2003 § 5.4.3|}}

== 参考文献 ==
* Alder, R. J., R. E. Feldman and M. S. Taqqu eds.（1998年）''A Practical Guide to Heavy Tails: Statistical Techniques and Applications''
* {{note_label|Voit2003||}}{{Cite book |author=Johannes Voit |year=2003 |title=The Statistical Mechanics of Financial Markets (Texts and Monographs in Physics) |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-00978-7}}
*{{note_label|NolanWeb1||}}{{Cite web |author=John P. Nolan |title=Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data |year=2009 |url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf |format=PDF |accessdate=2009-02-21}}<!--

脚注の使用方法 - 関連する所に以下の参照を入れる。
{{ref_harvard|Voit2003|Voit 2003|}}
{{ref_harvard|NolanWeb1|Nolan 2009|}}-->


== 外部リンク ==
* [http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html John P. Nolan] 安定分布についてのホームページ
* [http://www.mathestate.com/tools/Financial/map/Overview.html Applications] 金融市場における安定分布
* [http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#The-Levy-alpha_002dStable-Distributions stable distributions] GNU Scientific Library &mdash; Reference Manual
* [http://cran.r-project.org/web/packages/fBasics/index.html fBasics] [[R言語|R]] 安定分布パッケージ
* [http://math.bu.edu/people/mveillet/html/alphastablepub.html STBL] MATLAB 安定分布パッケージ

== 関連項目 ==
* [[冪乗則]]
** [[コーシー分布]]
** [[パレート分布]]
** {{ill|ツァリス分布|en|Tsallis distribution}}
*[[特性関数 (確率論)#データ解析|特性関数を利用したデータ解析]]

* [[確率]]
* [[統計学]]
* [[変数 (数学)|変数]]

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:あんていふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:冪乗則]]
[[Category:数学に関する記事]]