完全トーティエント数のソースを表示

'''完全トーティエント数'''（かんぜんトーティエントすう、{{lang-en-short|perfect totient number}}）、'''完全トーシェント数'''は、[[自然数]]のうち、以下の等式を満たす数 ''n'' である。
:<math>n = \sum_{i = 1}^{c + 1} \varphi^i (n) = \varphi (n) + \varphi (\varphi (n)) + \varphi (\varphi (\varphi (n))) + \cdots + \overbrace{ \varphi (\varphi ( \cdots (\varphi (\varphi }^{c+1} (n))) \cdots ))</math>
:<math>\varphi^i (n)= \left\{ \begin{matrix} \varphi (n) \qquad i=1 \\ \varphi(\varphi^{i-1} (n)) \quad i \ge 2 \end{matrix}\right.</math>
ここで ''φ'' は[[オイラーのφ関数]]である。例えば 327 は 
:&phi;(327) = 216, &phi;(216) = 72, &phi;(72) = 24, &phi;(24) = 8, &phi;(8) = 4, &phi;(4) = 2, &phi;(2) = 1 
と 1 になるまで次々と ''φ'' 関数の値を計算し、それらの[[総和]]が 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327 と元の数に等しくなるので完全トーティエント数である。

一般に完全トーティエント数 ''n'' は以下の式を満たす。
:<math>\displaystyle\varphi^c(n)=2</math>

完全トーティエント数は無数にあり、そのうち最小の数は 3 である。完全トーティエント数を小さい順に列記すると
:[[3]], [[9]], [[15]], [[27]], [[39]], [[81]], [[111]], [[183]], [[243]], [[255]], [[327]], [[363]], [[471]], [[729]], [[2187]], 2199, 3063, 4359, 4375, ... （{{OEIS|id=A082897}}）

== 性質 ==
ほとんどの完全トーティエント数は 3 の倍数であり、3 の倍数でない完全トーティエント数のうち最小の数は 4375 である。特に 3 の[[累乗数]] (3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, …) は全て完全トーティエント数である。これは 3 の累乗数 3<sup>''k''</sup> が
:<math>\displaystyle\varphi(3^k) = \varphi(2\times 3^k) =2 \times 3^{k-1}</math>
を満たすことから証明できる。

Venkataraman は1975年に[[素数]] ''p'' が ''p'' = 4×3<sup>''k''</sup> + 1 の形で表されるとき、3''p'' が完全トーティエント数になることを発見した。一般に、素数 ''p'' > 3 に対して 3''p'' が完全トーティエント数であるとき、''p''≡1 (mod 4) である (Mohan, Suryanarayana 1982)。しかし、この形をした 3''p'' の全てが完全トーティエント数になる訳ではない。例えば ''p'' = 17 の場合 ''p''≡1 (mod 4) を満たし、3''p'' = 51 となるが、51 は完全トーティエント数ではない。

== 関連事項 ==
* [[オイラーのφ関数]]
* [[完全数]]
{{PlanetMath attribution|title=perfect totient number|id=38741}}
{{DEFAULTSORT:かんせんとおていえんとすう}}
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[[Category:整数の類]]
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