完全トーティエント数

完全トーティエント数（かんぜんトーティエントすう、テンプレート:Lang-en-short）、完全トーシェント数は、自然数のうち、以下の等式を満たす数 n である。

$n=\sum _{i=1}^{c+1}{\phi }^i(n)=\phi (n)+\phi (\phi (n))+\phi (\phi (\phi (n)))+\cdots +\stackrel{c+1}{\overbrace{\phi (\phi (\cdots (\phi (\phi }}(n)))\cdots ))$

${\phi }^i(n)=\{\begin{array}{c}\phi (n)i=1\\ \phi ({\phi }^{i-1}(n))i\ge 2\end{array}$

ここで φ はオイラーのφ関数である。例えば 327 は

φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1

と 1 になるまで次々と φ 関数の値を計算し、それらの総和が 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327 と元の数に等しくなるので完全トーティエント数である。

一般に完全トーティエント数 n は以下の式を満たす。

${\phi }^c(n)=2$

完全トーティエント数は無数にあり、そのうち最小の数は 3 である。完全トーティエント数を小さい順に列記すると

3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ... （テンプレート:OEIS）

性質

ほとんどの完全トーティエント数は 3 の倍数であり、3 の倍数でない完全トーティエント数のうち最小の数は 4375 である。特に 3 の累乗数 (3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, …) は全て完全トーティエント数である。これは 3 の累乗数 3^k が

$\phi (3^k)=\phi (2\times 3^k)=2\times 3^{k-1}$

を満たすことから証明できる。

Venkataraman は1975年に素数 p が p = 4×3^k + 1 の形で表されるとき、3p が完全トーティエント数になることを発見した。一般に、素数 p > 3 に対して 3p が完全トーティエント数であるとき、p≡1 (mod 4) である (Mohan, Suryanarayana 1982)。しかし、この形をした 3p の全てが完全トーティエント数になる訳ではない。例えば p = 17 の場合 p≡1 (mod 4) を満たし、3p = 51 となるが、51 は完全トーティエント数ではない。

関連事項

• オイラーのφ関数
• 完全数