実数値関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年3月}}
'''実数値関数'''（じっすうちかんすう、{{lang-en-short|real-valued function}}）とは、[[値]]として[[実数]]を与える[[関数 (数学)|関数]]をいう。つまり、[[定義域]]のそれぞれの[[元 (数学)|元]]に対し実数を割り当てる関数のことである。特に、定義域も実数の[[部分集合]]であるもの、すなわち実変数の実数値関数を'''実関数'''（じつかんすう、{{lang-en-short|real function}}）という{{Sfn|kotobank-実関数}}{{Sfn|kotobank-実関数論}}。

多くの重要な[[関数空間]]が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。

== {{anchors|一般}}一般の実数値関数 ==
{{mvar|X}} を[[任意]]の[[集合]]とする。{{math|''F''(''X'', '''R''')}} を {{mvar|X}} から {{math|'''R'''}} への[[関数 (数学)|関数]]全体の集合で表すものとする。{{math|'''R'''}} は[[可換体]]であるので、{{math|''F''(''X'', '''R''')}} は[[ベクトル空間]]であり、[[実数]]上の[[結合多元環]]は、以下のように定義できる。
# [[空間ベクトル|ベクトル和]]: {{math|''f'' + ''g'': ''x'' {{mapsto}} ''f''(''x'') + ''g''(''x'')}}
# [[加法単位元]]: {{math|'''0''': ''x'' {{mapsto}} 0}}
# スカラーとの積: {{math|''cf'': ''x'' {{mapsto}} ''cf''(''x''), ''c'' &isin; '''R'''}}
# 各点ごとの積: {{math|''fg'': ''x'' {{mapsto}} ''f''(''x'')''g''(''x'')}}
また、{{math|'''R'''}} は[[順序集合]]であることから、{{math|''F''(''X'', '''R''')}} には以下のような[[半順序]]が入る。
:<math>\ f \le g \iff \forall x\colon f(x) \le g(x).</math>
これによって、{{math|''F''(''X'', '''R''')}} は{{仮リンク|半順序環|en|partially ordered ring}}とある。

== {{anchors|可測}}可測な実数値関数 ==
[[ボレル集合]]の [[完全加法族|{{mvar|σ}}-代数]]は[[実数]]上に定義される重要な[[代数的構造|構造]]である。{{mvar|X}} が {{mvar|σ}}-代数を持ち、[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} が、すべてのボレル集合 {{mvar|B}} に対して、その[[像 (数学)|原像]] {{math|''f''<sup>−1</sup>(''B'')}} が {{mvar|X}} の {{mvar|σ}}-代数に属しているとき、{{mvar|f}} は[[可測関数|可測]]であるという。この可測関数はまた、うえで説明したようなベクトル空間と代数をつくる。 

== {{anchors|連続}}連続な実数値関数 ==
[[実数]]は、[[位相空間]]であり[[完備距離空間]]である。[[連続]]な実数値関数（これは暗黙のうちに {{mvar|X}} が位相空間であることを主張する）は位相空間や[[距離空間]]の理論で重要なものである。[[極値定理]]は、[[コンパクト空間]]上のすべての連続な実数値関数には（極小、極大にとどまらない大域的な）[[最大と最小|最小値と最大値]]が存在することを主張する。

== 脚注 ==
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=== 注釈 ===
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=== 出典 ===
{{Reflist|colwidth=25em}}<!-- {{Sfn| }} で出典追加 -->
=== 文献 ===
* {{Cite Kotobank |word=実関数 |access-date=2023-03-31 |encyclopedia=精選版 日本国語大辞典 |hash=#E7.B2.BE.E9.81.B8.E7.89.88.20.E6.97.A5.E6.9C.AC.E5.9B.BD.E8.AA.9E.E5.A4.A7.E8.BE.9E.E5.85.B8}}
* {{Cite Kotobank |word=実関数論 |access-date=2023-03-31 |encyclopedia=日本大百科全書(ニッポニカ) |hash=#E6.97.A5.E6.9C.AC.E5.A4.A7.E7.99.BE.E7.A7.91.E5.85.A8.E6.9B.B8.28.E3.83.8B.E3.83.83.E3.83.9D.E3.83.8B.E3.82.AB.29}}

{{Math-stub}}
{{DEFAULTSORT:しつすうちかんすう}}
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