対応定理のソースを表示

[[数学]]の[[群論]]における'''対応定理'''（たいおうていり、{{lang-en-short|correspondence theorem}}, {{lang-de-short|Korrespondenzsatz}}）は[[正規部分群]] <math> N \trianglelefteq G</math> による[[商群]] {{math|''G''/''N''}} の[[部分群]]がちょうど[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} の {{mvar|N}} を含む部分群と対応していることを述べている。対応定理という名前は他の代数的構造に対する類似の関係にも用いられることもある。束定理 (lattice theorem) または第四[[同型定理]]ともいう。

== 群論における対応定理==
[[核 (代数学)|核]] {{mvar|N}} をもつ[[全射]][[群準同型写像]] {{math|''&phi;'': ''G'' &rarr; ''H''}} を考える。このとき対応
:<math> U \mapsto \varphi(U) </math>
は {{mvar|N}} を含む {{mvar|G}} の[[部分群]]と {{mvar|H}} の部分群との間の[[全単射]]である。対応
:<math> V \mapsto \varphi^{-1}(V) </math>
はその[[逆写像]]である{{sfn|Karpfinger|Meyberg|2013|loc=Satz 4.13 (Korrespondenzsatz)|p={{google books quote|id=EV7hEcOR1WQC|page=55|55}}}}。このとき正規部分群は正規部分群に（いずれの方向にも）対応する。

この主張を {{math|''G''/''N'' &cong; ''H''}} の場合に特殊化することで {{math|''G''/''N''}} の（正規）部分群は {{math|''N'' &le; ''U'' &le; ''G''}} を満たす（正規）部分群 {{mvar|U}} を用いて {{mvar|''U''/''N''}} と表されるものにちょうど一致することがわかる{{sfn|Robinson|1996|loc=1.4.6|p=20}}。この対応は[[単調写像|単調]]である——つまり部分群 {{math|''N'' &le; ''U''<sub>1</sub>, ''U''<sub>2</sub> &le; ''G''}} に対して {{math|''U''<sub>1</sub> &le; ''U''<sub>2</sub>}} となるのは {{math|''U''<sub>1</sub>/''N'' &le; ''U''<sub>2</sub>/''N''}} となるとき、かつ、そのときに限る。

もし {{mvar|''G''/''N''}} が[[単純群]]ならば正規部分群 {{mvar|N}} は正規部分群のなかで極大である{{sfn|Karpfinger|Meyberg|2013|loc=Lemma 11.2}}。

== 環論における対応定理 ==
{{mvar|R}} を単位元を含む[[環 (数学)|環]]とし、{{math|''I'' &sube; ''R''}} を（両側）[[イデアル]]とする。このとき対応
:<math> J \mapsto J/I </math>
は {{mvar|I}} を含む {{mvar|R}} の左イデアルと {{math|''R''/''I''}} の左イデアルとの間の[[全単射]]である。この対応は[[単調写像|単調]]である——つまり左イデアル {{math|''I'' &sube; ''J''<sub>1</sub>, ''J''<sub>2</sub> &sube; ''R''}} に対して {{math|''J''<sub>1</sub> &sube; ''J''<sub>2</sub>}} となるのは {{math|''J''<sub>1</sub>/''I'' &sube; ''J''<sub>2</sub>/''I''}} となるとき、かつ、そのときに限る{{sfn|Rotman|2009|loc=Theorem 2.15 (Correspondence Theorem for Rings)|p={{google books quote|id=P2HV4f8gyCgC|page=45|45}}}}。

== 加群論における対応定理 ==
{{mvar|M}} を左 {{mvar|R}} [[環上の加群|加群]]、 {{math|''N'' &sube; ''M''}} をその部分加群とする。このとき対応
:<math> V \mapsto V/N </math>
は {{mvar|N}} を含む {{mvar|M}} の部分加群と {{math|''M''/''N''}} の部分加群との間の[[全単射]]である。この対応は[[単調写像|単調]]である——つまり部分加群 {{math|''N'' &sube; ''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub> &sube; ''M''}} に対して {{math|''V''<sub>1</sub> &sube; ''V''<sub>2</sub>}} となるのは {{math|''V''<sub>1</sub>/''N'' &sube; ''V''<sub>2</sub>/''N''}} となるとき、かつ、そのときに限る{{sfn|Rotman|2009|loc=Theorem 2.14 (Correspondence Theorem)|p={{google books quote|id=P2HV4f8gyCgC|page=45|45}}}}。

== 出典  ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1      = Karpfinger
|first1     = C.
|last2      = Meyberg
|first2     = K.
|year       = 2013
|title      = Algebra: Gruppen - Ringe - Körper
|url        = {{google books|EV7hEcOR1WQC|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer Spektrum
|isbn       = 978-3-8274-3011-3
|doi        = 10.1007/978-3-8274-2194-4
|ref        = harv
}}
* {{cite book
|last1      = Robinson
|first1     = Derek J. S. 
|year       = 1996
|title      = A Course in the Theory of Groups
|edition    = Second
|series     = Graduate Texts in Mathematics
|volume     = 80
|url        = {{google books|zLfkBwAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer-Verlag
|isbn       = 0-387-94461-3
|mr         = 1357169
|zbl        = 0836.20001 
|doi        = 10.1007/978-1-4419-8594-1
|ref        = harv
}}
* {{cite book
|last1      = Rotman
|first1     = Joseph J.
|year       = 2009
|title      = An Introduction to Homological Algebra
|edition    = 2nd
|series     = Universitext
|url        = {{google books|P2HV4f8gyCgC|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer
|isbn       =  978-0-387-24527-0
|mr         = 2455920
|zbl        = 1157.18001
|doi        = 10.1007/b98977
|ref        = harv
}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=FourthGroupIsomorphismTheorem|title=Fourth Group Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}
* {{MathWorld|urlname=FourthRingIsomorphismTheorem|title=Fourth Ring Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}
* {{PlanetMath|urlname=FourthIsomorphismTheorem|title=fourth isomorphism theorem}}
* {{PlanetMath|urlname=ProofOfFourthIsomorphismTheorem|title=proof of fourth isomorphism theorem}}


{{DEFAULTSORT:たいおうていり}}
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]