対数正規分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = 対数正規分布
|type = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Lognormal distribution PDF.png|325px|Probability density function]]<br />{{small|{{math2|''μ'' {{=}} 0}}}}
|画像/分布関数 = [[画像:Lognormal distribution_CDF.png|325px|Cumulative distribution function]]<br />{{small|{{math|''μ'' {{=}} 0}}}}
|母数 = <math>\mu \in \mathbb{R}</math><br /><math>\sigma >0</math>
|台 = <math>(0,\infty)</math>
|確率関数 = <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} \exp \left( -\frac{ (\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)</math>
|分布関数 = <math>\frac{1}{2} \operatorname{erfc} \! \left[-\frac{\ln x-\mu}{\sqrt{2} \sigma} \right]</math>
|期待値 = <math>e^{\mu +\sigma^2 /2}</math>
|中央値 = <math>e^{\mu}</math>
|最頻値 = <math>e^{\mu -\sigma^2}</math>
|分散 = <math>e^{2\mu +\sigma^2} (e^{\sigma^2} -1)</math>
|歪度 = <math>\sqrt{e^{\sigma^2} -1} (e^{\sigma^2} +2)</math>
|尖度 = <math>e^{4\sigma^2} +2e^{3\sigma^2} +3e^{2\sigma^2} -6</math>
|エントロピー = <math>\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \ln{(2\pi \sigma^2 )} +\mu</math>
|モーメント母関数 =-
|特性関数 =-
}}
[[確率論]]および[[統計学]]において、'''対数正規分布'''（たいすうせいきぶんぷ、{{lang-en-short|log-normal distribution}}）は、[[連続確率分布]]の一種である。この[[確率分布|分布]]に従う[[確率変数]]の[[対数]]をとったとき、対応する分布が[[正規分布]]に従うものとして定義される。そのため[[中心極限定理]]の乗法的な類似が成り立ち、[[独立同分布]]に従う確率変数の積は漸近的に対数正規分布に従う。

== 定義 ==
平均 {{mvar|μ}} と標準偏差 {{math|''σ'' > 0}} に対し、正の実数を値にとる確率変数 {{mvar|X}} の[[確率密度関数]] {{math|''f''(''x'')}} が
:<math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2} x} \exp \left( -\frac{(\ln x-\mu )^2}{2\sigma^2} \right) , \quad 0<x<\infty</math>
で与えられるとき、確率変数 {{mvar|X}} は対数正規分布に従うという。また、上記の確率密度分布に対応する対数正規分布を {{math|Λ(''μ'', ''σ''{{sup|2}})}} と表記する{{sfn|Crow|Shimizu|1988|p={{google books quote|id=B8kNa1khS4QC|page=2|2}}}}。

このとき、対応する[[確率分布#累積分布関数|分布関数]] {{math|''F''(''X'')}} は
:<math>\begin{align}
F_X(x;\mu,\sigma) &=\frac12 \left[ 1+\operatorname{erf} \!\left( \frac{\ln x-\mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right] \\
  &=\frac12 \operatorname{erfc} \!\left( -\frac{\ln x-\mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \\
  &=\Phi \bigg( \frac{\ln x-\mu}{\sigma} \bigg)
\end{align}</math>
である。ただし、erfc は[[誤差関数|相補誤差関数]]、{{mvar|Φ}} は[[正規分布|標準正規分布]]の分布関数である。

=== 標準対数正規分布 ===
特に {{math2|''μ'' {{=}} 0}}, {{math2|''σ''{{sup|2}} {{=}} 1}} のとき、この分布は'''標準対数正規分布'''と呼ばれる。

つまり標準対数正規分布 {{math|Λ(0, 1)}} は

: <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp \! \left( -\frac{(\ln x)^2}{2} \right)</math>

なる確率密度関数を持つ確率分布として与えられる。

=== 正規分布との関係 ===
対数正規分布という名は、対数正規分布 {{math|Λ(''μ'', ''σ''{{sup|2}})}} に従う確率変数 {{mvar|X}} の対数関数を取ったときに、新たな確率変数 {{math2|''Y'' {{=}} ln ''X''}} が正規分布 {{math|N(''μ'', ''σ''{{sup|2}})}} に従うことに由来する。また、正規分布に従う確率変数が負の値を取りうるのに対して、対数正規分布に従う確率変数は正の値のみ取るという性質を有する。

== 性質 ==
=== 平均・分散 ===
対数正規分布 {{math|Λ(''μ'', ''σ''{{sup|2}})}} に従う確率変数 {{mvar|X}} に対し、[[平均]] {{math|E(''x'')}} および[[分散 (確率論)|分散]] {{math|V(''x'')}} はそれぞれ以下で与えられる。
:<math>\begin{align}
\operatorname{E} (X) &=e^{\mu +\sigma^2 / 2}, \\
\operatorname{V} (X) &=e^{2\mu +\sigma^2}(e^{\sigma^2} -1).
\end{align}</math>

=== 再生性 ===
対数正規分布 {{math|Λ(''μ''{{sub|1}}, ''σ''{{sub|1}}{{sup|2}})}} に従う確率変数 {{mvar|X}} と対数正規分布 {{math|Λ(''μ''{{sub|2}}, ''σ''{{sub|2}}{{sup|2}})}} に従う確率変数 {{mvar|Y}} が互いに独立であるとき、確率変数の積 {{mvar|XY}} は対数正規分布 {{math|Λ(''μ''{{sub|1}} + ''μ''{{sub|2}}, ''σ''{{sub|1}}{{sup|2}} + ''σ''{{sub|2}}{{sup|2}})}} に従う。

この性質は正規分布が[[再生性]]を有することから導かれる。

=== 中心極限定理の類似 ===
正の値を取る独立同分布に従う確率変数 {{math2|''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}''}} が条件
:<math>\begin{align}
\mu &=\operatorname{E} (\ln X_i ) <\infty \\
\sigma^2 &=\operatorname{V} (\ln X_i )<\infty
\end{align}</math>
を満たすならば、積 {{math|''X''{{sub|1}}…''X{{sub|n}}''}} は漸近的に対数正規分布 {{math|Λ(''nμ'', ''nσ''{{sup|2}})}} に従う{{sfn|Crow|Shimizu|1988|p={{google books quote|id=B8kNa1khS4QC|page=5|5}}}}。

== {{mvar|n}}次対数正規分布 ==
エスペンシェイドらによって提案された次の分布 {{math|''f{{sub|n}}'' (''x'')}} を'''{{mvar|n}} 次対数正規分布''' ({{en|{{mvar|n}}-th order log-normal distribution}}) という<ref>{{Cite|和書 |editor=日本エアロゾル学会 |author=高橋幹二 |title=エアロゾル学の基礎 |publisher=森北出版 |year=2003 |isbn=4-627-67251-9 |page=124}}</ref>：
:<math>f_n (x)=c_n x^n \exp \left( -\frac{(\ln x-\ln \mu )^2}{2(\ln \sigma )^2} \right)</math>
ここで、{{math2|''μ'', ''σ''}} はそれぞれ平均、分散に関する値、{{mvar|c{{sub|n}}}} は正規化のための定数で
:<math>c_n^{-1} = \sqrt{2\pi} \ln \sigma \mu^{n+1} \exp \left( \frac{(n+1)^2 (\ln\sigma)^2}{2} \right)</math>
である。通常の対数正規分布は {{math2|''n'' {{=}} &minus;1}} 次の場合に相当する。<!--μ、σの書き方が本文と異なってしまいますが、文献の記法に合わせておきます。-->

=== 0次対数正規分布 ===
特に0次対数正規分布 (ZOLD)：
:<math>f_0 (x)=\frac{\exp \left( -\dfrac{(\ln x-\ln \mu )^2}{2(\ln \sigma)^2}\right)}{\sqrt{2\pi} \ln \sigma \mu \exp \left( \dfrac{(\ln \sigma )^2}{2} \right)}</math>
は、最頻値が {{mvar|μ}} に等しく、{{mvar|σ}} に依存しないことから感覚的な理解が容易で、物理学の分野で用いられることがある。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=蓑谷千凰彦 |title=統計分布ハンドブック |publisher=[[朝倉書店]] |year=2003}}
* {{Cite book |last1=Crow |first1=Edwin L. |last2=Shimizu |first2=Kunio |year=1988 |title=Lognormal distributions |series=Statistics: Textbooks and Monographs |volume=88 |url={{google books|B8kNa1khS4QC|plainurl=yes}} |publisher=Marcel Dekker |isbn=0-8247-7803-0 |mr=0939191 |zbl=0644.62014 |ref=harv}}

== 関連項目 ==
* [[正規分布]]
* {{仮リンク|ジブラ法則|en|Gibrat's law}}（比例効果の法則）

{{確率分布の一覧}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:たいすうせいきふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]