対数正規分布

テンプレート:確率分布 確率論および統計学において、対数正規分布（たいすうせいきぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）は、連続確率分布の一種である。この分布に従う確率変数の対数をとったとき、対応する分布が正規分布に従うものとして定義される。そのため中心極限定理の乗法的な類似が成り立ち、独立同分布に従う確率変数の積は漸近的に対数正規分布に従う。

定義

平均 テンプレート:Mvar と標準偏差 テンプレート:Math に対し、正の実数を値にとる確率変数 テンプレート:Mvar の確率密度関数 テンプレート:Math が

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}x}\exp (-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),0<x<\mathrm{\infty }$

で与えられるとき、確率変数 テンプレート:Mvar は対数正規分布に従うという。また、上記の確率密度分布に対応する対数正規分布を テンプレート:Math と表記するテンプレート:Sfn。

このとき、対応する分布関数 テンプレート:Math は

$\begin{array}{cc}{F}_X(x;\mu ,\sigma )& =\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}\right)]\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{erfc}(-\frac{\ln x-\mu }{\sigma \sqrt{2}})\\ & =\mathrm{\Phi }\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)\end{array}$

である。ただし、erfc は相補誤差関数、テンプレート:Mvar は標準正規分布の分布関数である。

標準対数正規分布

特に テンプレート:Math2, テンプレート:Math2 のとき、この分布は標準対数正規分布と呼ばれる。

つまり標準対数正規分布 テンプレート:Math は

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }x}\exp (-\frac{(\ln x{)}^2}{2})$

なる確率密度関数を持つ確率分布として与えられる。

正規分布との関係

対数正規分布という名は、対数正規分布 テンプレート:Math に従う確率変数 テンプレート:Mvar の対数関数を取ったときに、新たな確率変数 テンプレート:Math2 が正規分布 テンプレート:Math に従うことに由来する。また、正規分布に従う確率変数が負の値を取りうるのに対して、対数正規分布に従う確率変数は正の値のみ取るという性質を有する。

性質

平均・分散

対数正規分布 テンプレート:Math に従う確率変数 テンプレート:Mvar に対し、平均 テンプレート:Math および分散 テンプレート:Math はそれぞれ以下で与えられる。

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(X)& =e^{\mu +{\sigma }^2/2},\\ \mathrm{V}(X)& =e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1).\end{array}$

再生性

対数正規分布 テンプレート:Math に従う確率変数 テンプレート:Mvar と対数正規分布 テンプレート:Math に従う確率変数 テンプレート:Mvar が互いに独立であるとき、確率変数の積 テンプレート:Mvar は対数正規分布 テンプレート:Math に従う。

この性質は正規分布が再生性を有することから導かれる。

中心極限定理の類似

正の値を取る独立同分布に従う確率変数 テンプレート:Math2 が条件

$\begin{array}{cc}\mu & =\mathrm{E}(\ln X_i)<\mathrm{\infty }\\ {\sigma }^2& =\mathrm{V}(\ln X_i)<\mathrm{\infty }\end{array}$

を満たすならば、積 テンプレート:Math は漸近的に対数正規分布 テンプレート:Math に従うテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar次対数正規分布

エスペンシェイドらによって提案された次の分布 テンプレート:Math をテンプレート:Mvar 次対数正規分布 (テンプレート:En) という：

$f_n(x)=c_n{x}^n\exp (-\frac{(\ln x-\ln \mu {)}^2}{2(\ln \sigma {)}^2})$

ここで、テンプレート:Math2 はそれぞれ平均、分散に関する値、テンプレート:Mvar は正規化のための定数で

$c_n^{-1}=\sqrt{2\pi }\ln \sigma {\mu }^{n+1}\exp \left(\frac{(n+1{)}^2(\ln \sigma {)}^2}{2}\right)$

である。通常の対数正規分布は テンプレート:Math2 次の場合に相当する。

0次対数正規分布

特に0次対数正規分布 (ZOLD)：

$f_0(x)=\frac{\exp (-\frac{(\ln x-\ln \mu {)}^2}{2(\ln \sigma {)}^2})}{\sqrt{2\pi }\ln \sigma \mu \exp \left(\frac{(\ln \sigma {)}^2}{2}\right)}$

は、最頻値が テンプレート:Mvar に等しく、テンプレート:Mvar に依存しないことから感覚的な理解が容易で、物理学の分野で用いられることがある。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 正規分布
• テンプレート:仮リンク（比例効果の法則）