対数積分のソースを表示

{{出典の明記|date=2018年8月}}
[[File:Logarithmic-integral function.svg|right|350px]]
数学において、'''対数積分'''（たいすうせきぶん、{{lang-en-short|logarithmic integral function}}）{{math|li(''x'')}} とは、全ての正の[[実数]] {{math|''x'' &ne; 1}} において次の[[自然対数]] {{math|ln}} を含む[[定積分]]によって定義される[[特殊関数]]である。
:<math>\operatorname{li} (x) = \int_{0}^{x}\! \frac{dt}{\ln t}</math>
ただし関数 {{math|1/ln ''t''}} は {{math|''t'' {{=}} 1}} において特異点を持つため、上記における {{math|''x'' > 1}} の積分は、次のように[[コーシーの主値]]として解釈される。
:<math>\operatorname{li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon}\! \frac{dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^{x}\! \frac{dt}{\ln t} \right)</math>

==性質==
*{{math|''x'' &rarr; &infin;}} におけるこの関数の発展挙動は、
:<math>\operatorname{li} (x) = \Theta \left( {x\over \ln x} \right)</math>
ここで<math>\Theta</math>は[[ランダウの記号]]の一種である。{{節リンク|ランダウの記号|その他の漸近記法}}参照。

*対数積分は[[素数]]の密度を推定するために使われることが多く、[[素数定理]]などで次の式として登場する。
:<math>\operatorname{\pi}(x) \sim \operatorname{li}(x) \sim \operatorname{Li}(x)</math>
ここで {{math|&pi;(''x'')}} は {{mvar|x}} 以下の素数の個数を示す[[素数計数関数]]である。{{math|Li(''x'')}} は次の式で定義される'''補正対数積分'''関数であり、'''オイラーの対数積分'''とも呼ばれる。
:<math>\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)</math>
あるいは
:<math>\operatorname{Li}(x) = \int_2^x\frac{dt}{\ln t}</math>
である。（こちらの関数を {{math|li(''x'')}} と定めることもあるので記号の定義に注意が必要である。）{{math|Li(''x'')}}は積分領域の特異点を回避するという優位点があり、また {{math|li(''x'')}} よりも{{math|&pi;(''x'')}} を非常に良く近似する。

<math>\operatorname{Li}(x)</math>より良く<math>\pi(x)</math>を近似するものとして

<math>\operatorname{Li}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{Li}(\sqrt{x}) - \frac{1}{3}\operatorname{Li}(\sqrt[3]{x})-\frac{1}{5}\operatorname{Li}(\sqrt[5]{x})+\frac{1}{6}\operatorname{Li}(\sqrt[6]{x})-\frac{1}{7}\operatorname{Li}(\sqrt[7]{x})+...
)</math>

等がある。

*関数 {{math|li(''x'')}} と[[指数積分]] {{math|Ei(''x'')}} との間には、{{math|''x'' &ne; 1}} を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。
:<math>\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)</math>

==関連項目==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[素数定理]] {{math|&pi;(''x'') &sim; Li(''x'')}}
* [[指数積分]] {{math|Ei(''x'')}}
* [[リーマン予想]]

==外部リンク==
* {{MathWorld|urlname=LogarithmicIntegral|title=Logarithmic Integral}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:たいすうせきふん}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]