対数積分

数学において、対数積分（たいすうせきぶん、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math とは、全ての正の実数 テンプレート:Math において次の自然対数 テンプレート:Math を含む定積分によって定義される特殊関数である。

$\mathrm{li}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}$

ただし関数 テンプレート:Math は テンプレート:Math において特異点を持つため、上記における テンプレート:Math の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。

$\mathrm{li}(x)=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{dt}{\ln t}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t})$

性質

• テンプレート:Math におけるこの関数の発展挙動は、

$\mathrm{li}(x)=\mathrm{\Theta }\left(\frac{x}{\ln x}\right)$

ここで$\mathrm{\Theta }$はランダウの記号の一種である。テンプレート:節リンク参照。

• 対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。

$\mathrm{\pi }(x)\sim \mathrm{li}(x)\sim \mathrm{Li}(x)$

ここで テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 以下の素数の個数を示す素数計数関数である。テンプレート:Math は次の式で定義される補正対数積分関数であり、オイラーの対数積分とも呼ばれる。

$\mathrm{Li}(x)=\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2)$

あるいは

$\mathrm{Li}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}$

である。（こちらの関数を テンプレート:Math と定めることもあるので記号の定義に注意が必要である。）テンプレート:Mathは積分領域の特異点を回避するという優位点があり、また テンプレート:Math よりもテンプレート:Math を非常に良く近似する。

$\mathrm{Li}(x)$より良く$\pi (x)$を近似するものとして

$\mathrm{Li}(x)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}(\sqrt{x})-\frac{1}{3}\mathrm{Li}(\sqrt[3]{x})-\frac{1}{5}\mathrm{Li}(\sqrt[5]{x})+\frac{1}{6}\mathrm{Li}(\sqrt[6]{x})-\frac{1}{7}\mathrm{Li}(\sqrt[7]{x})+...)$

等がある。

• 関数 テンプレート:Math と指数積分 テンプレート:Math との間には、テンプレート:Math を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。

$\mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x)$

関連項目

• 素数定理 テンプレート:Math
• 指数積分 テンプレート:Math
• リーマン予想

外部リンク

• テンプレート:MathWorld