対称テンソルのソースを表示

[[数学]]における'''対称テンソル'''（たいしょうテンソル、{{lang-en-short|''symmetric tensor''}}）は、その{{仮リンク|テンソルの次数|en|tensor order|label=次数}} {{mvar|r}} に関して、任意の {{mvar|r}}-次[[置換 (数学)|置換]]の作用に関して不変な[[テンソル]]を言う。

より具体的には、テンソルを多重線型写像 {{mvar|T}} と見るならば、その引数となるベクトルの任意の置換 {{mvar|σ}} について
: <math>T(v_1,v_2,\dots,v_r) = T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots,v_{\sigma r})</math>
を満たすもの、あるいは座標を用いて成分で表すならば
: <math>T_{i_1i_2\dots i_r} = T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}</math>
を満たすものである。

有限次元[[ベクトル空間]] {{mvar|V}} 上の{{mvar|r}}-次対称テンソル全体の成す空間は、{{mvar|V}} 上の {{mvar|r}}-次[[斉次多項式]]全体の成す空間の[[双対空間|双対]]に[[自然同型]]になる。[[標数]] {{math|0}} の[[可換体|体]]上では、対称テンソル全体の成す[[次数付き線型空間|次数付きベクトル空間]]は {{mvar|V}} 上の[[対称代数]]に自然に同一視される。関連する概念として、[[反対称テンソル]]や[[重線型交代形式|交代形式]]がある。対称テンソルは[[工学]]、[[物理学]]、[[数学]]において広く生じる。

== 定義 ==
[[ベクトル空間]] {{mvar|V}} に対し、その {{mvar|k}}-次テンソル冪 {{math|''V''{{exp|&otimes;''k''}}}} を考える。

{{mvar|k}}-次テンソル {{math|''T'' &isin; ''V''{{exp|&otimes;''k''}}}} が'''対称'''であるとは
: <math>\tau_\sigma T = T\quad (\forall\sigma\in\mathfrak{S}_k)</math>
を満たすことをいう。ここで {{mvar|&tau;{{ind|σ}}}} は記号 {{math|{{(}}, 2, …, ''k''{{)}}}} の置換 {{math|σ &isin; 𝔖{{ind|''k''}}}} に付随する組み紐写像である。

{{mvar|V}} の[[基底 (線型代数学)|基底]] {{math|{{(}}''e''{{ind|''i''}}{{)}}}} を取り、{{mvar|k}}-次対称テンソル {{mvar|T}} を適当な係数を用いて
: <math>T = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^N T_{i_1i_2\dots i_k} e^{i_1} \otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}</math>
の形に書けば、この基底に関する {{mvar|T}} の成分 {{math|''T''{{msub|''i''{{ind|1}}''i''{{ind|2}}…''i''{{ind|''k''}}}}}} はその添字に関して対称、すなわち
: <math>T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}} = T_{i_1i_2\dots i_k}</math>
が任意の置換 {{mvar|σ}} について満足される。

{{mvar|V}} 上の {{mvar|k}}-次対称テンソル全体の成す空間は、しばしば {{math|''S''{{msup|''k''}}(''V'')}} や {{math|Sym{{msup|''k''}}(''V'')}} で表される。{{math|''S''{{msup|''k''}}(''V'')}} はそれ自身ベクトル空間を成し、また {{mvar|V}} が {{mvar|N}}-次元ならば {{math|Sym{{msup|''k''}}(''V'')}} の次元は[[二項係数]]を用いて
: <math>\dim \operatorname{Sym}^k(V) = {N + k - 1 \choose k}</math>
で与えられる。対称テンソル空間 {{math|Sym(''V'')}} は {{math|''k'' {{=}} 0, 1 ,2, …}} に対する {{math|Sym{{msup|''k''}}(''V'')}} の[[ベクトル空間の直和|直和]]
: <math>\operatorname{Sym}(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty \operatorname{Sym}^k(V)</math>
として構成される。

== 例 ==
対称テンソルの例はたくさんあるが、例えば[[計量テンソル]] {{mvar|g{{ind|&mu;&nu;}}}}, [[アインシュタインテンソル]] {{mvar|G{{ind|&mu;&nu;}}}}, [[リッチテンソル]] {{mvar|R{{ind|&mu;&nu;}}}} など。

物理学や工学で用いられるさまざまな[[物性]]および[[場]]が対称テンソル場として表される。例えば、[[応力]]、[[ひずみ|歪み]]、[[異方的]][[電気伝導|伝導性]]など。[[拡散テンソル画像|拡散MRI]]も、脳やその他の体の部分の拡散の記述に対称テンソルをしばしば用いる。

楕円体は[[代数多様体]]の例であり、任意の次数の対称テンソルは[[斉次多項式]]の形で[[射影代数多様体]]を定義するのに用いられ、またそのような形で調べられる。

== テンソルの対称成分{{anchors|対称化作用素}} ==
{{mvar|V}} は[[標数]] {{math|0}} の体上のベクトル空間とする。{{math|''T'' &isin; ''V''{{exp|&otimes;''k''}}}} を {{mvar|k}}-次テンソルとすれば、{{mvar|T}} の対称成分は、平均化（対称化）
: <math>\operatorname{Sym} T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \tau_\sigma T</math>
によって与えられる対称テンソルである。和は {{mvar|k}}-次[[対称群]]の全体を亙ってとる。基底をとって考えれば、[[アインシュタインの和の規約|和の規約]]を用いて
: <math>T = T_{i_1i_2\dots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}</math>
と書くとき、{{mvar|T}} の対称成分は
: <math>\operatorname{Sym} T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_k} T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}} e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}</math>
と書ける。右辺に現れるテンソル成分は、しばしば対称化する添字を括弧で括って
: <math>T_{(i_1i_2\dots i_k)} = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_k} T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}</math>
とも書かれる。

== 対称テンソル積 ==
単純テンソル {{mvar|T}} をテンソル積
: <math>T=v_1\otimes v_2\otimes\cdots \otimes v_r</math>
として書くとき、{{mvar|T}} の対称成分はその因子ベクトルの対称積
: <math>v_1\odot v_2\odot\cdots\odot v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}</math>
と呼ばれる。一般に、対称テンソル空間 {{math|Sym(''V'')}} に可換かつ結合的な積 "{{math|⊙}}" を入れて[[体上の多元環|多元環]]にすることができる<ref name="Kostrikin1997">{{cite book | last1 = Kostrikin | first1 = Alexei I. | last2 = Manin | first2 = Iurii Ivanovich | authorlink1 = Alexei Kostrikin | authorlink2 = Yuri I. Manin | title = Linear algebra and geometry | publisher = Gordon and Breach | series = Algebra, Logic and Applications | volume = 1 | year = 1997 | pages = 276–279 | isbn = 9056990497}}</ref>。二つのテンソル {{math|''T''{{ind|1}} &isin; Sym{{msup|''k''{{ind|1}}}}(''V''), ''T''{{ind|2}} &isin; Sym{{msup|''k''{{ind|2}}}}(''V'')}} が与えられたとき、対称化作用素を用いて
: <math>T_1\odot T_2 = \operatorname{Sym}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Sym}^{k_1+k_2}(V)\right)</math>
と定義すれば、これが実際に可換かつ結合的であることが確かめられる {{harv|Kostrikin,Manin|1997}}<ref name="Kostrikin1997" />。

文脈によっては演算子を省略して単なる併置とすることもある ({{math|''T''{{ind|1}}''T''{{ind|2}} {{=}} ''T''{{ind|1}} ⊙ ''T''{{ind|2}}}})。冪記法を用いて
: <math>v^{\odot k} = \underbrace{v \odot v \odot \cdots \odot v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v \otimes v \otimes \cdots \otimes v}_{k\text{ times}}=v^{\otimes k}</math>
と書くこともある。ここで {{mvar|v}} はベクトルである。これもやはり "⊙" を省略して
: <math>v^k=\underbrace{v\,v\,\cdots\,v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v\odot v\odot\cdots\odot v}_{k\text{ times}}</math>
のようにも書く。

== 対称テンソルの分解 ==
[[対称行列]]論と対応するものとして、二次の実対称テンソルを「対角化」することができる。より明確に書けば、任意のテンソル {{math|''T'' &isin; Sym{{msup|2}}(''V'')}} に対し、適当な整数 {{mvar|r}} と非零単位ベクトル {{math|''v''{{ind|1}}, …, ''v''{{ind|''r''}} &isin; ''V''}} および重み {{math|''&lambda;''{{ind|1}}, …, ''&lambda;''{{ind|''r''}}}} が存在して
: <math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i\otimes v_i</math>
とできる。このような分解ができる最小の正整数 {{mvar|r}} を、対称テンソル {{mvar|T}} の対称階数あるいは単に階数と呼ぶ。この最小分解に現れるベクトルを総称して、このテンソルの {{仮リンク|主軸定理|en|principal axis theorem|label=主軸}}と呼び、一般には物理学的に重要な意味を持つ。例えば[[慣性テンソル]]の主軸は、慣性モーメントを表す[[ポワンソーの楕円体]]を定義する。[[シルヴェスターの慣性法則]]も参照。

任意 {{mvar|k}}-次の対称テンソルに対して、分解
: <math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i^{\otimes k}</math>
を考えることもできる。このような分解が可能な最小の数 {{mvar|r}} は {{mvar|T}} の対称階数に等しい<ref name="Comon2008">{{Cite journal | last1 = Comon | first1 = P. | last2 = Golub | first2 = G. | last3 = Lim | first3 = L. H. | last4 = Mourrain | first4 = B. | title = Symmetric Tensors and Symmetric Tensor Rank | doi = 10.1137/060661569 | journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 30 | issue = 3 | pages = 1254 | year = 2008 | pmid =  | pmc = }}</ref>。この最小分解はワーリング分解 (Waring decomposition) と呼ばれる（これは{{仮リンク|テンソル階数分解|en|tensor rank decomposition}}の対称形である）。二次テンソルに関しては、これはテンソルを任意の基底に関して表現する[[行列の階数]]に対応し、その最大階数が台となるベクトル空間の次元に等しいことはよく知られている。しかしより高次の場合にはこれは満足されない（階数は台となるベクトル空間の次元よりも大きくなりうる）。

== 関連項目 ==
* [[反対称テンソル]]
* {{仮リンク|リッチ計算法|en|Ricci calculus}}{{refn|group="注"|{{cite web|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/23/2/23_2_101/_pdf|page=103, 左上|access-date=2023/11/06|author=矢野健太郎|title=幾何学部門報告}}に「リッチ計算法」と書かれているためこの訳を採用}}
* [[シューア多項式]]
* [[対称多項式]]
* [[転置行列]]
* {{仮リンク|ヤング対称化作用素|en|Young symmetrizer}}

== 引用文献 ==
<references/>

==注釈==
{{reflist|group="注"}}

== 参考文献 ==
* {{citation|first = Nicolas | last=Bourbaki | authorlink=ニコラ・ブルバキ | title = Elements of mathematics, Algebra I| publisher = Springer-Verlag | year = 1989|isbn=3-540-64243-9}}.
* {{citation|first = Nicolas | last=Bourbaki | title = Elements of mathematics, Algebra II| publisher = Springer-Verlag | year = 1990|isbn=3-540-19375-8}}.
* {{Citation | last1=Greub | first1=Werner Hildbert | title=Multilinear algebra | publisher=Springer-Verlag New York, Inc., New York | series=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136 |mr=0224623 | year=1967}}.
* {{Citation | last1=Sternberg | first1=Shlomo | author1-link=Shlomo Sternberg | title=Lectures on differential geometry | publisher=Chelsea | location=New York | isbn=978-0-8284-0316-0 | year=1983}}.

== 外部リンク ==
* Cesar O. Aguilar, ''[http://www.mast.queensu.ca/~cesar/math_notes/dim_symmetric_tensors.pdf The Dimension of Symmetric k-tensors]''

{{tensors}}
{{DEFAULTSORT:たいしようてんそる}}
[[Category:テンソル]]
[[Category:数学に関する記事]]