対称差のソースを表示

{{出典の明記|date=2018年5月}}
[[File:Venn-Diagram-XOR.png|thumb|alt=ベン図による対称差の表現|ベン図による対称差の表現]]
[[File:Venn 0110 1001.svg|thumb|
{{math|(''A''△''B'')△''C''}} のベン図

{{nowrap|[[File:Venn 0110 0110.svg|40px]]<math>~\bigtriangleup~</math>[[File:Venn 0000 1111.svg|40px]]}}<math>~=~</math>[[File:Venn 0110 1001.svg|40px]]
]]
[[数学]]において、2 つの[[集合]] {{math|''A''}} と {{math|''B''}} との'''対称差'''（たいしょうさ、{{lang-en-short|symmetric difference}}<ref>{{Cite book|和書|year=1998|title=理化学英和辞典|chapter=symmtric dfference|editor=小田　稔ほか|publisher=JapanKnowledge}}</ref>）とは、“{{math|''A''}} に属し、{{math|''B''}} に属さないもの” と “{{math|''B''}} に属し、{{math|''A''}} に属さないもの” とを全て集めて得られる集合である{{sfn|松坂|1968|pp=21-22|ps=&nbsp;&nbsp;第1章 §2 問題7-9}}。一般に、集合 {{math|''A''}} と {{math|''B''}} との対称差を、記号
{{indent|{{math|''A''△''B''}}{{sfn|松坂|1968|pp=21-22|ps=&nbsp;&nbsp;第1章 §2 問題7-9}}&nbsp;&nbsp;あるいは&nbsp;&nbsp;{{math|''A''⊖''B''}}&nbsp;&nbsp;あるいは&nbsp;&nbsp;{{math|''A''⊕''B''}}}}
などで表す。例えば、{{math|{{mset|1, 2, 3}}}} と {{math|{{mset|3, 4}}}} との対称差は {{math|{{mset|1, 2, 4}}}} に等しい： {{math|1={{mset|1, 2, 3}}△{{mset|3, 4}} = {{mset|1, 2, 4}}}}。

任意の集合に対して、その集合の[[冪集合]]は、対称差 {{math|△}} を[[二項演算|算法]]として[[アーベル群]]となる{{sfn|松坂|1976|p=50|ps=&nbsp;&nbsp;第2章 §2 問題9}}。[[空集合]] {{math|∅}} はその群の[[単位元]]であり、その群の任意の元はその元自身の[[逆元]]である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 {{math|△}} を加法とし[[共通部分 (数学)|共通部分]] {{math|∩}} を乗法とするとき、[[ブール環]]となる{{sfn|松坂|1976|p=111|ps=&nbsp;&nbsp;第3章 §1 問題8}}。

== 性質 ==
対称差は、[[和集合]]と[[差集合]]の記号を用いて次のように表すことができる{{sfn|松坂|1968|pp=21-22|ps=&nbsp;&nbsp;第1章 §2 問題7-9}}：
{{indent|{{math|1=''A''△''B'' = (''A''&minus;''B'')∪(''B''&minus;''A'')}}。}}

{{math|''X''}} を 1 つの集合とし、{{math|''A'', ''B''}} を {{math|''X''}} の 2 つの[[部分集合]]とする。集合 {{math|{{mset|0, 1}}}} における二項演算として[[排他的論理和]] {{math|⊕ : {{mset|0, 1}} × {{mset|0, 1}}}} → {{math|{{mset|0, 1}}}} を定義すれば、{{math|''X''}} における[[指示関数]]に関して次が成り立つ： {{math|''X''}} の任意の元 {{math|''x''}} に対して
{{indent|{{math|1=χ {{sub|''A''△''B''}} (''x'') = χ <sub>''A''</sub> (''x'') ⊕ χ <sub>''B''</sub> (''x'')}}。}}
[[アイバーソンの記法]]を用いれば次のようにも書ける：
{{indent|{{math|1=[ ''x'' ∈ ''A''△''B'' ] = [ ''x'' ∈ ''A'' ] ⊕ [ ''x'' ∈ ''B'' ]}}。}}

対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる{{sfn|松坂|1968|pp=21-22|ps=&nbsp;&nbsp;第1章 §2 問題7-9}}：
{{indent|{{math|1=''A''△''B'' = (''A''∪''B'')&minus;(''A''∩''B'')}}。}}
特に、{{math|''A''△''B''}} は {{math|''A''∪''B''}} の部分集合である： {{math|''A''△''B'' ⊂ ''A''∪''B''}}。また、{{math|''A''}} と {{math|''B''}} とが[[素集合|互いに素]]であるときかつそのときに限り {{math|1=''A''△''B'' = ''A''∪''B''}} である。さらには、{{math|''A''△''B''}} と {{math|''A''∩''B''}} とは互いに素であって、集合 {{math|{{mset|''A''△''B'', ''A''∩''B''}}}} は {{math|''A''∪''B''}} の 1 つの[[集合の分割|分割]]である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式
{{indent|{{math|1=''A''∪''B'' = (''A''△''B'')△(''A''∩''B'')}}}}
によって和集合を定義することもできる。

=== 代数学的な性質 ===
対称差について、次の 4 つが成り立つ{{sfn|松坂|1968|pp=21-22|ps=&nbsp;&nbsp;第1章 §2 問題7-9}}：
# {{math|1=(''A''△''B'')△''C'' = ''A''△(''B''△''C'')}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;（[[結合法則]]）、
# {{math|1=''A''△∅ = ∅△''A'' = ''A''}}、
# {{math|1=''A''△''A'' = ∅}}、
# {{math|1=''A''△''B'' = ''B''△''A''}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;（[[交換法則]]）。

{{math|''X''}} を 1 つの集合とし、{{math|P(''X'')}} を {{math|''X''}} の冪集合とする。{{math|P(''X'') × P(''X'')}} の元 {{math|(''A'', ''B'')}} に {{math|P(''X'')}} の元 {{math|''A''△''B''}} を対応させれば、{{math|P(''X'')}} における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して {{math|P(''X'')}} はアーベル群となる。空集合 {{math|∅}} はその群の単位元である。{{math|P(''X'')}} の任意の元 {{math|''A''}} に対して {{math|''A''}} は {{math|''A''}} の逆元であるから、{{math|P(''X'')}} は[[基本アーベル群|ブール群]]でもある。{{math|''X''}} がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 {{math|P(''X'')}} は[[クラインの四元群]] {{math|'''Z'''<sub>2</sub> × '''Z'''<sub>2</sub>}}{{efn|{{math|'''Z'''<sub>2</sub>}} は {{math|'''Z'''}} の {{math|2'''Z'''}} による[[商群]]に等しい： {{math|1='''Z'''<sub>2</sub> = '''Z'''/2'''Z'''}}。ここで、{{math|'''Z'''}} は[[加法群]]（[[整数]]全体の集合）、{{math|2'''Z'''}} は {{math|{{mset|2}}}} によって[[群の生成系|生成]]される {{math|'''Z'''}} の[[部分群]]（[[偶数]]全体の集合）である。}}と[[群同型|同型]]である。

共通部分は対称差に対して[[分配法則]]を満たす{{sfn|松坂|1968|pp=21-22|ps=&nbsp;&nbsp;第1章 §2 問題7-9}}：
{{indent|{{math|1=''A''∩(''B''△''C'') = (''A''∩''B'')△(''A''∩''C'')}}。}}
よって、{{math|''X''}} を 1 つの集合とするとき、{{math|P(''X'') × P(''X'')}} の元 {{math|(''A'', ''B'')}} に {{math|P(''X'')}} の元 {{math|''A''△''B''}} を対応させて得られる二項算法を加法とし、{{math|P(''X'') × P(''X'')}} の元 {{math|(''A'', ''B'')}} に {{math|P(''X'')}} の元 {{math|''A''∩''B''}} を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、{{math|P(''X'')}} は[[環 (数学)|環]]となる。また、{{math|P(''X'')}} はブール環でもある。

=== その他の性質 ===
* {{math|''X''}} を 1 つの集合とし、{{math|''A'', ''B''}} を {{math|''X''}} の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：
{{indent|{{math|1=''A''△''B'' = (''X''&minus;''A'')△(''X''&minus;''B'')}}。}}
* {{math|Λ}} を 1 つの集合とし、{{math|Λ}} の各元 {{math|''λ''}} に対して 2 つの集合 {{math|''A''<sub>''λ''</sub> , ''B''<sub>''λ''</sub>}} が定められているとき、次が成り立つ：
{{indent|<math>\biggl( \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \biggr)\bigtriangleup \biggl( \bigcup_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda \biggr)\subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} \bigl( A_\lambda \bigtriangleup B_\lambda \bigr)</math>}}
* {{math|''f''}} を集合 {{math|''S''}} から集合 {{math|''T''}} への 1 つの写像とし、{{math|''A'', ''B''}} を {{math|''T''}} の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：
{{indent|{{math|1=''f'' <sup>&minus;1</sup>(''A''△''B'') = ''f'' <sup>&minus;1</sup>(''A'') △ ''f'' <sup>&minus;1</sup>(''B'')}}。}}

== 多項対称差 ==
対称差は結合法則と交換法則を満たすので、{{math|''n''}}個の集合{{math|''A''<sub>0</sub>, …, ''A''<sub>''n''−1</sub>}}の対称差{{math|''A''<sub>0</sub> △ ⋯ △ ''A''<sub>''n''−1</sub>}} {{=}} (⋯({{math|''A''<sub>0</sub> △ ''A''<sub>1</sub>) △ ⋯ △ ''A''<sub>''n''−1</sub>)}}は順番に依らない。このことから対称差はより一般に（各元における重複度が有限であるような）集合族　<math display="inline">\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}</math>　に対し以下のように拡張できる。
:<math>\mathop{\triangle}_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = \biggl\{ a \in \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \mathrel{\bigg|} \bigl| \{ \lambda\in\Lambda \mid a \in A_\lambda \} \bigr| \text{ が 奇 数 } \biggr\} </math>
上記のような集合族について {{math|Λ}} 及び各 {{math|''A''<sub>''λ''</sub>}} がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ（[[和集合#性質|和集合]]の場合にも同様の公式が成り立つ）。
:<math>\Bigl| \mathop{\triangle}_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \Bigr| = \sum_{\Mu\subset\Lambda} (-2)^{|\Mu|-1}  \biggl| \bigcap_{\lambda\in\Mu} A_\lambda \biggr|</math>

== 測度空間上の対称差 ==
2つの集合の対称差の「大きさ」は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。
今 {{math|''&mu;''}} を集合 {{math|''X''}} 上の[[測度]]とし {{math|''&Sigma;''}} を測度有限な可測集合全体とする。
このとき{{math|''&Sigma;&times;&Sigma;''}}上の関数の{{math|''d''}}を
:<math>d_\mu (A,B):=\mu(A \bigtriangleup B)</math>
と定めると、これは {{math|''&Sigma;''}} 上の[[擬距離空間|擬距離]]になる。

この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が {{math|''&mu;''}} に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。

{{math|''A, B''}} が {{math|''&Sigma;''}} の元であるとき <math>\bigl| \mu(A) - \mu(B) \bigr| \leq \mu(A \bigtriangleup B)</math> が成立する。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | last=松坂 | first=和夫 | author-link=松坂和夫 | year=1968 | title=集合・位相入門 | place=日本 | publisher=岩波書店| isbn=4-00-005424-4}}
* {{Citation | last=松坂 | first=和夫 | author-link=松坂和夫 | year=1976 | title=代数系入門 | place=日本 | publisher=岩波書店| isbn=4-00-005634-4}}

== 関連項目 ==
* [[完全加法族]]
* [[差集合]]
* [[集合の代数学]]
* [[集合論]]
* [[対称性]]
* [[排他的論理和]]
* [[ファジィ集合]]
* [[ブール関数]]
* {{仮リンク|ロジカルグラフ|en|Logical graph}}
{{集合論}}

== 外部リンク ==
* {{nlab|urlname=symmetric+difference|title=symmetric difference}}
* {{MathWorld|urlname=SymmetricDifference|title=Symmetric Difference}}
* {{PlanetMath|urlname=SymmetricDifference|title=symmetric difference}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Symmetric_Difference|title=Definition:Symmetric Difference}}
* {{SpringerEOM|urlname=Symmetric_difference_of_sets|title=Symmetric difference of sets|author= Voitsekhovskii, M.I.}}

{{Settheory-stub}}
{{DEFAULTSORT:たいしようさ}}
[[Category:減法]]
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]