射影加群のソースを表示

[[数学]]において、'''射影加群'''(しゃえいかぐん、{{lang-en-short|projective module}}）とは、
[[表現可能関手]] {{math|Hom(''P'', &ndash;)}} が[[完全関手|完全]]となるような[[環上の加群|加群]] {{mvar|P}} のことである。 [[自由加群]]の一般化に相当する。
[[ホモロジー (数学)|ホモロジー代数学]]における基本的な概念のひとつであり、{{harvtxt|Cartan|Eilenberg|1956}}で導入された{{sfn|Weibel|1999|p={{google books quote|id=7iRijkz0rrUC|page=816|816}}}}。

== 動機 ==
一般の[[環上の加群|加群]] {{mvar|P}} に対して[[表現可能関手]] {{math|Hom(''P'', &ndash;)}} は左[[完全関手|完全]]である。
つまり任意の短[[完全列]]
:<math> 0 \to N \to M \to K \to 0 </math>
に対して
:<math> 0 \to \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, K) </math>
は完全である。
この関手 {{math|Hom(''P'', &ndash;)}} が完全となる、つまり
:<math> 0 \to \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, K) \to 0 </math>
が完全となる加群 {{mvar|P}} のことを射影加群と呼ぶ。 

== 定義 ==
{{mvar|R}} を[[単位元]]をもつ[[環 (数学)|環]]とし、以下では加群はすべて左 {{mvar|R}} 加群、射はすべて左 {{mvar|R}} 加群の準同型を指すことにする。
[[環上の加群|加群]] {{mvar|P}} が'''射影加群'''である、あるいは'''射影的'''とは次の同値な条件のいずれかが成り立つことをいう<ref>{{harvnb|Anderson|Fuller|1992}} 17.1. Proposition(p.192), 17.2. Proposition(p.192), {{harvnb|岩永|佐藤|2002}} 補題 6-2-1(p.201)</ref>。

* [[関手]] {{math|Hom(''P'', &ndash;)}} が[[完全関手|完全]]である、つまり任意の短[[完全列]]  {{math|0 &rarr; ''N'' &rarr; ''M'' &rarr; ''K'' &rarr; 0}} に対して {{math|0 &rarr; Hom(''P'', ''N'') &rarr; Hom(''P'', ''M'') &rarr; Hom(''P'', ''K'') &rarr; 0}} も短完全列である
* {{mvar|P}} はある[[自由加群]]の[[加群の直和|直和]]因子と[[同型]]である
* 任意の[[全射]] {{math|''N'' &rarr; ''M''}} に対して {{math|Hom(''P'', ''N'') &rarr; Hom(''P'', ''M'')}} も全射である
* 任意の加群 {{mvar|M}} に対して {{math|Ext(''P'', ''M'') {{=}} 0}} 
* 任意の加群 {{mvar|M}} と正の[[整数]] {{mvar|n}} に対して {{math|Ext<sup>''n''</sup>(''P'', ''M'') {{=}} 0}}
* 任意の全射 {{math|''f'' : ''N'' &rarr; ''M''}} と射 {{math|''g'' : ''P'' &rarr; ''M''}} に対して {{math|''f''・ ''h'' {{=}} ''g''}} となる射 {{math|''h'' : ''P'' &rarr; ''N''}} が存在する
:[[Image:Projective module.png]]

より一般に[[アーベル圏]] <math>\mathcal{A}</math> の対象 ''P'' は関手 <math>\operatorname{Hom}_\mathcal{A}(P, -)</math> が完全なときに、射影的という。

== 例 ==
* 環 {{math|''R<sub>i</sub>''}} の直和 {{math|''R'' {{=}} ''R''<sub>1</sub> &oplus; ''R''<sub>2</sub>}} に対して、{{math|''P<sub>i</sub>'' {{=}} ''R<sub>i</sub>'' &oplus; 0}} は射影的な {{mvar|R}} 加群であるが、自由加群ではない{{sfn|Weibel|1994|loc=Example 2.2.2}}。

== 性質 ==
* 環 {{mvar|R}} は[[半単純環|半単純]] &hArr; すべての左 {{mvar|R}} 加群は射影的{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=193}}
* {{math|''P<sub>i</sub>''}}はすべて射影加群 &hArr; {{math|&oplus;''P<sub>i</sub>''}} は射影加群{{Sfn|岩永|佐藤|2002|p=128}}
* 可換[[局所環]]上の[[有限生成]]射影加群は[[自由加群]]{{sfn|Weibel|1994|loc={{google books quote|id=flm-dBXfZ_gC|page=103|Proposition 4.3.1}}}}
* [[可換体|体]]係数[[多項式環]]上の有限生成射影加群は自由加群 （[[:en:Quillen-Suslin theorem]]）

== 射影分解と射影次元 ==
加群 {{mvar|M}} に対し、各 {{mvar|P{{sub|i}}}} が射影加群であるような次の完全列
:<math>\cdots \to P_{n+1} \overset{d_{n+1}}{\to} P_n \to \cdots \to P_1 \overset{d_1}{\to} P_0 \overset{d_0}{\to} M \to 0</math>
を {{mvar|M}} の'''[[射影分解]]'''という{{sfn|Weibel|1994|loc={{google books quote|id=flm-dBXfZ_gC|page=34|Definition 2.2.4}}}}。特にすべての {{math|''i'' &ge; 0}} に対して {{math|''P{{sub|i}}'' &rarr; Im ''d{{sub|i}}''}} が[[射影被覆]]となるときは'''極小射影分解'''という。任意の加群には自由分解（上記で射影加群を自由加群に置き換えたもの）が存在し、したがって射影分解も存在する。すべての {{math|''i'' > ''n''}} に対し {{math|1=''P{{sub|i}}'' = 0}} であるような射影分解を'''長さ''' {{mvar|n}} の射影分解という。そのような {{mvar|n}} が存在する場合その最小値を {{mvar|M}} の'''射影次元'''といい、存在しない場合は射影次元は {{math|∞}} という。ただし、{{math|{{mset|0}}}} の射影次元は {{math|−1}} とする。射影次元は {{math|pd(''M'')}} と書かれる。これは {{mvar|M}} の極小射影分解の長さに等しい。{{mvar|R}}-加群 {{mvar|M}} と整数 {{math|''n'' &ge; 0}} に対して以下は同値{{sfn|Weibel|1994|loc=Lemma 4.1.6}}。
* {{math|pd(''M'') &le; ''n''}}.
* 任意の {{mvar|R}}-加群 {{mvar|X}} に対して、<math>\operatorname{Ext}^{n+1}_R(M,X)=\{0\}.</math>
* 任意の {{math|''i'' &ge; ''n'' + 1}} と任意の {{mvar|R}}-加群 {{mvar|X}} に対して、<math>\operatorname{Ext}^i_R(M,X)=\{0\}.</math>

== 関連項目 ==
* [[Ext群]]
* [[入射加群]]
* [[平坦加群]]
* [[射影被覆]]

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|last1     = Anderson
|first1    = Frank W.
|last2     = Fuller
|first2    = Kent R.
|year      = 1992
|title     = Rings and Categories of Modules
|url       = http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-97845-1
|edition   = Second
|publisher = Springer-Verlag
|series    = Graduate texts in mathematics
|volume    = 13
|isbn      = 0-387-97845-3
|mr         = 1245487
|zbl        = 0765.16001 
|ref       = harv
}}
* {{Cite book
|last1     = Cartan
|first1    = H.
|authorlink1 = アンリ・カルタン
|last2     = Eilenberg
|first2    = S.
|authorlink2 = サミュエル・アイレンベルグ
|year      = 1956
|title     = Homological Algebra
|url       = {{google books|Sd0DDAAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher = Princeton University Press
|isbn      = 0-444-82375-1 
|mr         = 0077480
|zbl       = 0075.24305
|ref       = harv
}} ([https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183521097 Review] by [[S. MacLane]])
* {{Cite book
|last1     = Weibel
|first1    = Charles A.
|year      = 1994
|title     = An Introduction to Homological Algebra
|url       = {{google books|flm-dBXfZ_gC|An Introduction to Homological Algebra|page=33|plainurl=yes}}
|publisher = Cambridge University Press
|isbn      = 0-521-55987-1
|mr         = 1269324
|zbl       = 0797.18001
|ref       = harv
}}
* {{Citation
|last1        = Weibel
|first1       = Charles A.
|year         = 1999
|chapter      = History of homological algebra
|pages        = 797&ndash;836
|url          = {{google books|7iRijkz0rrUC|page=797|plainurl=yes}}
|editor-last  = James
|editor-first = I. M.
|title        = History of Topology
|mr           = 1721123
|zbl          = 0966.55002
|doi          = 10.1016/B978-044482375-5/50029-8
}}
* {{Cite book
|和書
|last1     = 岩永
|first1    = 恭雄
|last2     = 佐藤
|first2    = 眞久
|year      = 2002
|title     = 環と加群のホモロジー代数的理論
|url       = http://www.nippyo.co.jp/book/1984.html
|edition   = 第1版
|publisher = 日本評論社
|isbn      = 4-535-78367-5
|ref       = harv
}} 数学 [https://doi.org/10.11429/sugaku1947.58.413 sugaku1947.58.413]

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:しやえいかくん}}
[[Category:加群]]
[[Category:加群論]]
[[Category:数学に関する記事]]