射影的対象のソースを表示

[[圏論]]において，'''射影的対象'''（しゃえいてきたいしょう，{{lang-en-short|projective object}}）の概念は[[射影的加群]]の概念を一般化する．

圏 <math>\mathcal{C}</math> の対象 {{mvar|P}} が'''射影的'''とは，[[hom関手]]
:<math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math>
が[[全射 (圏論)|全射]]を保つことをいう．つまり，任意の射 <math>f\colon P\to X</math> は任意の全射 {{math|''Y'' &rarr; ''X''}} を通して分解する．

<math>\mathcal{C}</math> を[[アーベル圏]]とする．この文脈では，対象 <math>P\in\mathcal{C}</math> が'''射影的対象'''であるとは，

:<math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Ab}</math>

が[[完全関手]]であることをいう．ただし <math>\mathbf{Ab}</math> は[[アーベル群]]の[[圏 (数学)|圏]]である．

射影的対象の双対概念は'''[[単射的対象]]'''の概念である：アーベル圏 <math>\mathcal{C}</math> の対象 {{mvar|Q}} が''単射的''であるとは，<math>\mathcal{C}</math> から <math>\mathbf{Ab}</math> への関手 <math>\operatorname{Hom}(-,Q)</math> が完全であることをいう．

==充分射影的対象をもつ==
<math>\mathcal{A}</math> を[[アーベル圏]]とする．<math>\mathcal{A}</math> が'''充分射影的対象をもつ'''（Have Enough Projectives）とは，<math>\mathcal{A}</math> の任意の対象 {{mvar|A}} に対して，<math>\mathcal{A}</math> の射影的対象 {{mvar|P}} と[[完全列]]

:<math>P \longrightarrow A \longrightarrow 0</math>

が存在することをいう．言い換えると，射 {{math|''p'': ''P'' &rarr; ''A''}} は[[全射 (圏論)|全射]]である．

==例==
{{mvar|R}} を {{math|1}} をもつ[[環 (数学)|環]]とする．左 {{Mvar|R}} 加群の圏 <math>\mathcal{M}_R</math> を考える．<math>\mathcal{M}_R</math> はアーベル圏である．<math>\mathcal{M}_R</math> における射影的対象はちょうど[[射影加群|射影左 {{mvar|R}} 加群]]である．なので {{mvar|R}} はそれ自身 <math>\mathcal{M}_R</math> の射影的対象である．双対的に，<math>\mathcal{M}_R</math> における単射的対象はちょうど[[単射加群|単射的左 {{mvar|R}} 加群]]である．

左（右）{{mvar|R}} 加群の圏は充分射影的対象を持つ．なぜならば，任意の左（右）{{mvar|R}} 加群 {{mvar|M}} に対して，{{mvar|F}} として {{mvar|M}} の生成集合 {{mvar|X}}（{{mvar|M}} でよい）によって生成される[[自由加群|自由]]（したがって射影）{{mvar|R}} 加群をとることができるからである．すると [[積 (圏論)|標準射影]] {{math|''&pi;'': ''F'' &rarr; ''M''}} が所望の[[全射]]である．

==参考文献==
*{{Mitchell TOC}}

{{PlanetMath attribution|id=6437|title=Projective object}}

{{PlanetMath attribution|id=6506|title=Enough projectives}}

{{DEFAULTSORT:しやえいてきたいしよう}}
[[Category:ホモロジー代数]]
[[Category:対象 (圏論)]]
[[Category:数学に関する記事]]