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[[数学]]において、'''射影被覆'''（しゃえいひふく、{{lang-en-short|projective cover}}）とは、[[射影加群]] {{mvar|P}} と[[環上の加群|加群]] {{mvar|M}} へ[[全射]][[準同型写像]] {{math|''P'' → ''M''}} の組のうちで、[[核 (代数学)|核]]が‘最小’になるもののことをいう（[[#定義]]）。 == 動機 == 任意の[[環上の加群|加群]] {{mvar|M}} はある[[射影加群]] {{mvar|P}} の[[全射]][[準同型]]像である{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=199|loc=Proposition 17.15}}。 :<math> \pi \colon P \twoheadrightarrow M </math> したがって[[準同型定理]]より :<math> P/\ker \pi = M </math> である。 そこで加群 {{mvar|M}} を {{math|ker π}} が‘最小’になるように選んで、射影加群 {{mvar|P}} で‘近似’したものを射影被覆という。 より正確には {{mvar|P}} のすべての部分加群 {{mvar|L}} に対して :<math> \ker \pi + L = P \implies L = P </math> が成り立つとき、{{math|π : ''P'' → ''M''}} は射影被覆であるという。 == 定義 == {{mvar|R}} を[[単位元]]をもつ[[環 (数学)|環]]とし、以下では[[環上の加群|加群]]はすべて左 {{mvar|R}} 加群、[[射 (圏論)|射]]はすべて左 {{mvar|R}} 加群の[[準同型]]を指すことにする。 加群 {{mvar|N}} の部分加群 {{mvar|K}} が {{mvar|N}} の'''[[余剰部分加群]]'''（superfluous submodule, small submodule）であるとは、すべての {{mvar|N}} の部分加群 {{mvar|L}} に対して :<math> K + L = N \implies L = N </math> が成り立つことをいう{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=72}}。また[[全射]] {{math|π : ''N'' → ''M''}} の[[核 (代数学)|核]] {{math|ker π}} が {{mvar|N}} の余剰部分加群であるとき、{{math|π}} は'''余剰全射'''（superfluous epimorphism）であるという{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=73}}。 [[射影加群]] {{mvar|P}} と加群 {{mvar|M}} への全射 :<math> \pi \colon P \twoheadrightarrow M </math> の組 {{math|(''P'', π)}} が '''射影被覆''' であるとは、{{math|π}} が余剰全射であることをいう{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=199}}。このことを {{mvar|P}} が射影被覆であるといったり、 {{math|π : ''P'' → ''M''}} が射影被覆であるといったりすることもある。 == 性質 == === 一意性 === 一般に[[環上の加群|加群]]の射影被覆が存在するとは限らない{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=203}}。（けれども、たとえば[[アルティン環]]上の加群に対しては存在する{{Sfn|岩永|佐藤|2002|p=253}}。） もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。 ; 補題{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=199}} : {{math|''p'' : ''P'' → ''M''}} が射影被覆であるとする。もし {{mvar|Q}} が[[射影加群]]で、全射 {{math|''q'' : ''Q'' → ''M''}} があれば、 {{math|''Q'' {{=}} ''P'' ⊕ ''R''}} となる {{math|ker ''q''}} の部分加群 {{mvar|R}} が存在して、制限 {{math|''q''{{!}}<sub>''P''</sub> : ''P'' → ''M''}} は射影被覆である。 === 直和 === {{math|''p<sub>i</sub>'': ''P<sub>i</sub>'' → ''M<sub>i</sub>'' (1 ≤ ''i'' ≤ ''n'')}} が射影被覆ならば、 {{math|(⊕''p<sub>i</sub>''): ⊕''P<sub>i</sub>'' → ⊕''M<sub>i</sub>''}} も射影被覆である{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=203}}。 === 既約加群の射影被覆 === {{mvar|P}} をゼロでない[[射影加群]]とする。 射影加群 {{mvar|P}} がある既約加群の射影被覆である必要十分条件は、 {{mvar|P}} のゼロでないすべての商加群が直既約であることである{{Sfn|Anderson|Fuller|1992|p=203}}。 == 脚注 == {{Reflist|2}} == 参考文献 == * {{Cite book |last1 = Anderson |first1 = Frank W. |last2 = Fuller |first2 = Kent R. |year = 1992 |title = Rings and Categories of Modules |url = {{google books|MALaBwAAQBAJ|Rings and Categories of Modules|plainurl=yes}} |edition = Second |publisher = Springer-Verlag |series = Graduate texts in mathematics |volume = 13 |isbn = 0-387-97845-3 |mr = 1245487 |zbl = 0765.16001 |ref = harv }} * {{Cite book |和書 |last1 = 岩永 |first1 = 恭雄 |author1 = 岩永恭雄 |last2 = 佐藤 |first2 = 眞久 |author2 = 佐藤眞久 |year = 2002 |title = 環と加群のホモロジー代数的理論 |url = http://www.nippyo.co.jp/book/1984.html |edition = 第1版 |publisher = 日本評論社 |isbn = 4-535-78367-5 |ref = harv }} 数学 [https://doi.org/10.11429/sugaku1947.58.413 sugaku1947.58.413] == 関連項目 == * [[移入包絡]] — 双対概念 * [[射影分解]] * [[完全環]] — すべての加群が射影被覆をもつような環 {{デフォルトソート:しやえいひふく}} [[Category:加群論]] [[Category:数学に関する記事]]
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