射影集合のソースを表示

数学の[[記述集合論]]において、[[ポーランド空間]] <math>X</math> の部分集合 <math>A</math> が '''射影集合'''（しゃえいしゅうごう、Projective hierarchy）であるとは、それがある正整数 <math>n</math> についての <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_n</math> 集合であることをいう。ここで、<math>A</math> が
* <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_1</math> 集合であるとは、<math>A</math> が [[解析集合]]であること。
* <math>\boldsymbol{\Pi}^1_n</math> 集合であるとは、<math>A</math> の補集合 <math>X\setminus A</math> が <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_n</math> 集合であること。
* <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_{n+1}</math> 集合であるとは、あるポーランド空間 <math>Y</math> と <math>\boldsymbol{\Pi}^1_n</math> 集合 <math>C\subseteq X\times Y</math> について、<math>A</math> が <math>C</math> の射影となること; すなわち、<math>A=\{x\in X|(\exists y\in Y){\langle}x,y{\rangle}\in C\}</math> となること。

射影集合のクラスの列 <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_n</math> (n=1,2,……)は包含関係に関する狭義単調増加列になる。射影集合全体がなしているこの階層構造を射影階層と呼ぶ。第三節のポーランド空間 <math>Y</math> が何であるかは重要ではなく、不可算なポーランド空間（[[ベール空間]], [[カントール空間]], [[実数直線]]等）を一つ固定しておいても良い。

== 解析的階層との関連 ==

ベール空間の部分集合がなす相対化された[[解析的階層]]と、ベール空間の部分集合がなす射影階層との間には密接な関連がある。

ベール空間の全ての <math>\boldsymbol{\Sigma}^1_n</math> 部分集合が <math>\Sigma^1_n</math> であるわけではないが、ある自然数集合 ''A'' についての <math>\Sigma^{1,A}_n</math> 集合にはなる。<math>\boldsymbol{\Pi}^1_n</math> 集合についても同様のことが言える。この関係は[[実効記述集合論]]において重要である。

同様の関係はカントール空間の部分集合間、さらに一般化して[[実効ポーランド空間]]の部分集合間にも言える。

==他の階層との比較==
{{pointclasses}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Kechris | first1=A. S. | title=Classical Descriptive Set Theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94374-9 | year=1995}}
* {{Citation | last1=Rogers | first1=Hartley | title=The Theory of Recursive Functions and Effective Computability | origyear=1967 | publisher=First MIT press paperback edition | isbn=978-0-262-68052-3 | year=1987}}

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[[Category:記述集合論]]
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