射影集合

数学の記述集合論において、ポーランド空間 $X$ の部分集合 $A$ が 射影集合（しゃえいしゅうごう、Projective hierarchy）であるとは、それがある正整数 $n$ についての ${\mathrm{\Sigma }}_n^1$ 集合であることをいう。ここで、$A$ が

• ${\mathrm{\Sigma }}_1^1$ 集合であるとは、$A$ が 解析集合であること。
• ${\mathrm{\Pi }}_n^1$ 集合であるとは、$A$ の補集合 $X\setminus A$ が ${\mathrm{\Sigma }}_n^1$ 集合であること。
• ${\mathrm{\Sigma }}_{n+1}^1$ 集合であるとは、あるポーランド空間 $Y$ と ${\mathrm{\Pi }}_n^1$ 集合 $C\subseteq X\times Y$ について、$A$ が $C$ の射影となること; すなわち、$A=\{x\in X|(\mathrm{\exists }y\in Y)⟨x,y⟩\in C\}$ となること。

射影集合のクラスの列 ${\mathrm{\Sigma }}_n^1$ (n=1,2,……)は包含関係に関する狭義単調増加列になる。射影集合全体がなしているこの階層構造を射影階層と呼ぶ。第三節のポーランド空間 $Y$ が何であるかは重要ではなく、不可算なポーランド空間（ベール空間, カントール空間, 実数直線等）を一つ固定しておいても良い。

解析的階層との関連

ベール空間の部分集合がなす相対化された解析的階層と、ベール空間の部分集合がなす射影階層との間には密接な関連がある。

ベール空間の全ての ${\mathrm{\Sigma }}_n^1$ 部分集合が ${\mathrm{\Sigma }}_n^1$ であるわけではないが、ある自然数集合 A についての ${\mathrm{\Sigma }}_n^{1,A}$ 集合にはなる。${\mathrm{\Pi }}_n^1$ 集合についても同様のことが言える。この関係は実効記述集合論において重要である。

同様の関係はカントール空間の部分集合間、さらに一般化して実効ポーランド空間の部分集合間にも言える。

参考文献

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