導手のソースを表示

{{要改訳}}
[[代数的整数論]]で、[[局所体]]や[[大域体]]の[[体の拡大|有限次]][[アーベル拡大]]の'''導手'''(conductor)は、拡大の[[分岐 (数学)|分岐]]を定量的に測るものである。導手の定義は[[アルティン相互法則|アルティン写像]]に関連がある。
<!---In [[algebraic number theory]], the '''conductor''' of a [[finite extension|finite]] [[abelian extension]] of [[local field|local]] or [[global field]]s provides a quantitative measure of the [[ramification]] in the extension. The definition of the conductor is related to the [[Artin map]].-->

==局所導手==
L/K を[[局所体|非アルキメデス的局所体]]の有限アーベル拡大とすると、L/K の'''導手''' <math>\mathfrak{f}(L/K)</math> は、{{仮リンク|高次単数群|en|higher unit group}}(higher unit group) 
:<math>U^{(n)}=1+\mathfrak{m}_K^n=\left\{u\in\mathcal{O}^\times:u\equiv1\, (\mathrm{mod}\,\mathfrak{m}_K^n)\right\}</math>
が N<sub>L/K</sub>(L<sup>×</sup>) に含まれるような最小の非負な整数 n である。ここに、N<sub>L/K</sub> は[[ノルム (体論)|体のノルム]](field norm)写像で、<math>\mathfrak{m}_K</math> は K の[[局所体|極大イデアル]](maximal ideal)とする<ref>{{harvnb|Serre|1967|loc=§4.2}}</ref>。同じことであるが、n は[[アルティン相互法則|局所アルティン写像]]が <math>U_K^{(n)}</math> 上で自明であるような最小の整数である。導手は、上記の n に対する <math>\mathfrak{m}_K^n</math> として定義されることもある。<ref>As in {{harvnb|Neukirch|1999|loc=definition V.1.6}}</ref>

拡大の導手は[[分岐 (数学)|分岐]]を測る。定量的には、拡大が[[分岐 (数学)#不分岐|不分岐]]であることと、導手が 0 であることとは同値であり<ref>{{harvnb|Neukirch|1999|loc=proposition V.1.7}}</ref>、（拡大が）{{仮リンク|おとなしい分岐|en|tamely ramified}}(tamely ramified)であることと、導手が 1 であることとは同値である<ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=I.1.9}}</ref>。さらに詳しくは、導手は{{仮リンク|高次分岐群|en|higher ramification group}}(higher ramification group)の非自明性を測ることができる。{{仮リンク|下付添え字の|en|lower numbering}}(lower numbering)の高次分岐群 G<sub>s</sub> が非自明であるような最も大きな整数を s とすると、<math>\mathfrak{f}(L/K)=\eta_{L/K}(s)+1</math> が成り立つ。ここに η<sub>L/K</sub> は「下付添え字」を高次分岐群の{{仮リンク|上付き添え字|en|upper numbering}}(upper numbering)へ変換する函数とする。<ref>{{harvnb|Serre|1967|loc=§4.2, proposition 1}}</ref>

また、L/K の導手は[[ガロア群]] Gal(L/K) の指標の{{仮リンク|アルティン導手|en|Artin conductor}}(Artin conductor)とも関係している。特に、<ref>{{harvnb|Artin|Tate|2009|loc=corollary to theorem XI.14, p. 100}}</ref>
:<math>\mathfrak{m}_K^{\mathfrak{f}(L/K)}=\underset{\chi}{\mathrm{lcm}}\,\mathfrak{m}_K^{\mathfrak{f}_\chi}</math>
であり、ここに χ は Gal(L/K) の{{仮リンク|乗法的指標|en|Multiplicative character|label=乗法的な複素指標}}(multiplicative complex characters)の全てを渡り、<math>\mathfrak{f}_\chi</math> は χ のアルティン導手であり、lcm は[[最小公倍数]]である。
<!---==Local conductor==
Let ''L''/''K'' be a finite abelian extension of [[non-archimedean local field]]s. The '''conductor''' of ''L''/''K'', denoted <math>\mathfrak{f}(L/K)</math>, is the smallest non-negative [[integer]] ''n'' such that the [[higher unit group]] 
:<math>U^{(n)}=1+\mathfrak{m}^n=\left\{u\in\mathcal{O}^\times:u\equiv1\, (\mathrm{mod}\,\mathfrak{m}_K^n)\right\}</math>
is contained in ''N<sub>L''/''K''</sub>(''L''<sup>×</sup>), where ''N<sub>L''/''K''</sub> is [[field norm]] map and <math>\mathfrak{m}_K</math> is the [[local field|maximal ideal]] of ''K''.<ref>{{harvnb|Serre|1967|loc=§4.2}}</ref> Equivalently, ''n'' is the smallest integer such that the [[local Artin map]] is trivial on <math>U_K^{(n)}</math>. Sometimes, the conductor is defined as <math>\mathfrak{m}_K^n</math> where ''n'' is as above.<ref>As in {{harvnb|Neukirch|1999|loc=definition V.1.6}}</ref>

The conductor of an extension measures the [[ramification]]. Qualitatively, the extension is [[unramified]] if, and only if, the conductor is zero,<ref>{{harvnb|Neukirch|1999|loc=proposition V.1.7}}</ref> and it is [[tamely ramified]] if, and only if, the conductor is 1.<ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=I.1.9}}</ref> More precisely, the conductor computes the non-triviality of [[higher ramification group]]s: if ''s'' is the largest integer for which the "[[lower numbering]]" higher ramification group ''G<sub>s</sub>'' is non-trivial, then <math>\mathfrak{f}(L/K)=\eta_{L/K}(s)+1</math>, where η<sub>''L''/''K''</sub> is the function that translates from "lower numbering" to "[[upper numbering]]" of higher ramification groups.<ref>{{harvnb|Serre|1967|loc=§4.2, proposition 1}}</ref>

The conductor of ''L''/''K'' is also related to the [[Artin conductor]]s of characters of the [[Galois group]] Gal(''L''/''K''). Specifically,<ref>{{harvnb|Artin|Tate|2009|loc=corollary to theorem XI.14, p. 100}}</ref>
:<math>\mathfrak{m}_K^{\mathfrak{f}(L/K)}=\underset{\chi}{\mathrm{lcm}}\,\mathfrak{m}_K^{\mathfrak{f}_\chi}</math>
where χ varies over all [[Multiplicative character|multiplicative complex characters]] of Gal(''L''/''K''), <math>\mathfrak{f}_\chi</math> is the Artin conductor of χ, and lcm is the [[least common multiple]].-->

===さらに一般的な体===
導手は、局所体の必ずしもアーベル的ではない有限次ガロア拡大に対しても L/K と同じ方法で定義することができる<ref>{{harvnb|Serre|1967|loc=§4.2}}にあるように、</ref>。しかしながら、導手は「ノルム限定定理」のために、L の中での K の最大アーベル拡大である L<sup>ab</sup>/K のみに依存する。ノルム極限定理は、この状況下では、
:<math>N_{L/K}(L^\times)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left((L^{\text{ab}})^\times\right)</math>
を意味している<ref>{{harvnb|Serre|1967|loc=§2.5, proposition 4}}</ref><ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=theorem III.3.5}}</ref>。

加えて、局所体の場合よりも少し一般的な場合、つまり、{{仮リンク|準有限体|label=準有限|en|quasi-finite field}}(quasi-finite)な[[剰余体]]を持つ完備付値体の場合は、導手を定義することができる<ref>As in {{harvnb|Artin|Tate|2009|loc=§XI.4}}. This is the situation in which the formalism of [[local class field theory]] works.</ref>。
<!---===More general fields===
The conductor can be defined in the same way for ''L''/''K'' a not necessarily abelian finite Galois extension of local fields.<ref>As in {{harvnb|Serre|1967|loc=§4.2}}</ref> However, it only depends on ''L''<sup>ab</sup>/''K'', the maximal abelian extension of ''K'' in ''L'', because of the "norm limitation theorem", which states that, in this situation,<ref>{{harvnb|Serre|1967|loc=§2.5, proposition 4}}</ref><ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=theorem III.3.5}}</ref>
:<math>N_{L/K}(L^\times)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left((L^{\text{ab}})^\times\right).</math>

Additionally, the conductor can be defined when ''L'' and ''K'' are allowed to be slightly more general than local, namely if they are [[complete valued field]]s with [[quasi-finite field|quasi-finite]] residue field.<ref>As in {{harvnb|Artin|Tate|2009|loc=§XI.4}}. This is the situation in which the formalism of [[local class field theory]] works.</ref>-->

===アルキメデス的な体===
大域的導手のためには、自明な拡大 '''R'''/'''R''' の導手が 0 であると定義し、拡大 '''C'''/'''R''' の導手が 1 であると定義する。<ref>{{harvnb|Cohen|2000|loc=definition 3.4.1}}</ref>
<!---===Archimedean fields===
Mostly for the sake of global conductors, the conductor of the trivial extension '''R'''/'''R''' is defined to be 0, and the conductor of the extension '''C'''/'''R''' is defined to be 1.<ref>{{harvnb|Cohen|2000|loc=definition 3.4.1}}</ref>-->

==大域的導手==

===代数体===
数体のアーベル拡大 L/K の'''導手'''は、アルティン写像を使い局所の場合と同様に定義できる。特に θ : I<sup>'''m'''</sup> → Gal(L/K) を[[アルティン相互法則|大域的アルティン写像]](global Artin map)とする。ここでは、{{仮リンク|モジュラス (代数)|label=モジュラス|en|modulus (algebraic number theory)}}(modulus) '''m''' は L/K の{{仮リンク|定義モジュラス|en|defininng modulus<!-- 存在しない -->}}(defining modulus)である。θ が法 <math>\mathfrak{m}</math> の{{仮リンク|射類群|en|ray class group}}(ray class group) を経由するときに、[[アルティン相互法則]](Artin reciprocity)が '''m''' で成り立つという。L/K の導手を <math>\mathfrak{f}(L/K)</math> と書き、相互法則の成立するモジュラスのすべての共通部分とする。実際、相互法則は、<math>\mathfrak{f}(L/K)</math> に対し成り立つので、これは最も小さなそのようなモジュラスである<ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=remark V.3.8}}</ref><ref>{{harvnb|Janusz|1973|pp=158,168–169}}</ref><ref>無限素点を導手の定義から外している著者もいる。{{harvnb|Neukirch|1999|loc=§VI.6}}</ref>
<!---===Algebraic number fields===
The '''conductor''' of an abelian extension ''L''/''K'' of number fields can be defined, similarly to the local case, using the Artin map. Specifically, let θ : ''I''<sup>'''m'''</sup> → Gal(''L''/''K'') be the [[global Artin map]] where the [[modulus (algebraic number theory)|modulus]] '''m''' is a [[defining modulus]] for ''L''/''K''; we say that [[Artin reciprocity law|Artin reciprocity]] holds for '''m''' if θ factors through the [[ray class group|ray class group modulo]] '''m'''.  We define the conductor of ''L''/''K'', denoted <math>\mathfrak{f}(L/K)</math>, to be the highest common factor of all moduli for which reciprocity holds; in fact reciprocity holds for <math>\mathfrak{f}(L/K)</math>, so it is the smallest such modulus.<ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=remark V.3.8}}</ref><ref>{{harvnb|Janusz|1973|pp=158,168–169}}</ref><ref>Some authors omit infinite places from the conductor, e.g. {{harvnb|Neukirch|1999|loc=§VI.6}}</ref>-->

====例====
*基礎体を有理数体とすると、[[クロネッカー・ウェーバーの定理]]は、代数体 K が '''Q''' のアーベル拡大であることと、ある[[円分体]] <math>\mathbf{Q}(\zeta_n)</math> の部分体であることが同値であることを言っている<ref>{{cite book | first1=Yu. I. | last1=Manin | authorlink1=Yuri I. Manin | first2=A. A. | last2=Panchishkin | title=Introduction to Modern Number Theory | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences | volume=49 | edition=Second | year=2007 | isbn=978-3-540-20364-3 | issn=0938-0396 | zbl=1079.11002 | pages=155, 168 }}</ref>。従って、K の導手はそのようなものの中で最も小さな n である。
*d を平方因子のない整数として， L/K を <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q}</math> とすると、<ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=example V.3.11}}</ref>
::<math>\mathfrak{f}\left(\mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q}\right) = \begin{cases}
\left|\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}\right| & \text{for }d>0 \\
\infty\left|\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}\right| & \text{for }d<0
\end{cases}</math>
:が成り立つ．ここで <math>\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}</math> は <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q}</math> の{{仮リンク|代数体の判別式|label=判別式|en|discriminant of an algebraic number field}}(discriminant)である。
<!---====Example====
*Taking as base the field of rational numbers, the [[Kronecker–Weber theorem]] states that an algebraic number field ''K'' is abelian over '''Q''' if and only if it is a subfield of a [[cyclotomic field]] <math>\mathbf{Q}(\zeta_n)</math>.<ref>{{cite book | first1=Yu. I. | last1=Manin | authorlink1=Yuri I. Manin | first2=A. A. | last2=Panchishkin | title=Introduction to Modern Number Theory | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences | volume=49 | edition=Second | year=2007 | isbn=978-3-540-20364-3 | issn=0938-0396 | zbl=1079.11002 | pages=155, 168 }}</ref>  The conductor of ''K'' is then the smallest such ''n''.
*Let ''p'' be a [[prime number]] and let ''L''/''K'' be <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q}</math> where ''d'' is a [[squarefree]] integer. Then,<ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=example V.3.11}}</ref>
::<math>\mathfrak{f}\left(\mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q}\right) = \begin{cases}
\left|\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}\right| & \text{for }d>0 \\
\infty\left|\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}\right| & \text{for }d<0
\end{cases}</math>
:where <math>\Delta_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}</math> is the [[discriminant of an algebraic number field|discriminant]] of <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d})/\mathbf{Q}</math>.-->

====局所導手や分岐との関係====
大域導手は局所導手の積である。<ref>有限部分は{{harvnb|Neukirch|1999|loc=proposition VI.6.5}}、無限部分は{{harvnb|Cohen|2000|loc=definition 3.4.1}}を参照</ref>
:<math>\displaystyle \mathfrak{f}(L/K)=\prod_\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{\mathfrak{f}(L_\mathfrak{p}/K_\mathfrak{p})}.</math>
結局、有限素点が L/K で分岐していることと、それが <math>\mathfrak{f}(L/K)</math> を割ることは同値である。<ref>{{harvnb|Neukirch|1999|loc=corollary VI.6.6}}</ref> 無限素点 v は導手の中にあらわれることと、v が実素点で、L で複素素点となることとが同値である。
<!---====Relation to local conductors and ramification====
The global conductor is the product of local conductors:<ref>For the finite part {{harvnb|Neukirch|1999|loc=proposition VI.6.5}}, and for the infinite part {{harvnb|Cohen|2000|loc=definition 3.4.1}}</ref>
:<math>\displaystyle \mathfrak{f}(L/K)=\prod_\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{\mathfrak{f}(L_\mathfrak{p}/K_\mathfrak{p})}.</math>
As a consequence, a finite prime is ramified in ''L''/''K'' if, and only if, it divides <math>\mathfrak{f}(L/K)</math>.<ref>{{harvnb|Neukirch|1999|loc=corollary VI.6.6}}</ref> An infinite prime ''v'' occurs in the conductor if, and only if, ''v'' is real and becomes complex in ''L''.-->

==脚注==
{{reflist|2}}

==参考文献==
* {{Citation
| last=Artin
| first=Emil
| author-link=Emil Artin
| last2=Tate
| first2=John
| author2-link=John Tate
| title=Class field theory
| publisher=[[American Mathematical Society]]
| year=2009
| origyear=1967
| isbn=978-0-8218-4426-7
| mr=2467155
}}
*{{Citation
| last=Cohen
| first=Henri
| author-link=Henri Cohen (number theorist)
| year=2000
| title=Advanced topics in computational number theory
| isbn=978-0-387-98727-9
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=193
}}
*{{citation | first=Gerald | last=Janusz | title=Algebraic Number Fields | year=1973 | publisher=Academic Press | isbn=0-12-380250-4 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=55 | zbl=0307.12001 }}
*{{Citation
| last=Milne
| first=James
| title=Class field theory
| url=http://jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
| edition=v4.0
| year=2008
| accessdate=2010-02-22
}}
* {{Neukirch ANT}}
* {{Citation
| last=Serre
| first=Jean-Pierre
| author-link=Jean-Pierre Serre
| chapter=Local class field theory
| title=Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965
| editor-last=Cassels
| editor-first=J. W. S.
| editor-link=J. W. S. Cassels
| editor2-last=Fröhlich
| editor2-first=Albrecht
| editor2-link=Albrecht Fröhlich
| publisher=Academic Press
| location=London
| isbn=0-12-163251-2 
| mr=0220701
| year=1967
}}

{{デフォルトソート:とうしゆ}}
[[Category:類体論]]
[[Category:数学に関する記事]]