導手

テンプレート:要改訳 代数的整数論で、局所体や大域体の有限次アーベル拡大の導手(conductor)は、拡大の分岐を定量的に測るものである。導手の定義はアルティン写像に関連がある。

局所導手

L/K を非アルキメデス的局所体の有限アーベル拡大とすると、L/K の導手 $𝔣(L/K)$ は、テンプレート:仮リンク(higher unit group)

$U^{(n)}=1+{𝔪}_K^n=\{u\in {𝒪}^{\times }:u\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{𝔪}_K^n)\}$

が N_L/K(L^×) に含まれるような最小の非負な整数 n である。ここに、N_L/K は体のノルム(field norm)写像で、${𝔪}_K$ は K の極大イデアル(maximal ideal)とする。同じことであるが、n は局所アルティン写像が $U_K^{(n)}$ 上で自明であるような最小の整数である。導手は、上記の n に対する ${𝔪}_K^n$ として定義されることもある。

拡大の導手は分岐を測る。定量的には、拡大が不分岐であることと、導手が 0 であることとは同値であり、（拡大が）テンプレート:仮リンク(tamely ramified)であることと、導手が 1 であることとは同値である。さらに詳しくは、導手はテンプレート:仮リンク(higher ramification group)の非自明性を測ることができる。テンプレート:仮リンク(lower numbering)の高次分岐群 G_s が非自明であるような最も大きな整数を s とすると、$𝔣(L/K)={\eta }_{L/K}(s)+1$ が成り立つ。ここに η_L/K は「下付添え字」を高次分岐群のテンプレート:仮リンク(upper numbering)へ変換する函数とする。

また、L/K の導手はガロア群 Gal(L/K) の指標のテンプレート:仮リンク(Artin conductor)とも関係している。特に、

${𝔪}_K^{𝔣(L/K)}=\underset{\chi }{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}}{𝔪}_K^{{𝔣}_{\chi }}$

であり、ここに χ は Gal(L/K) のテンプレート:仮リンク(multiplicative complex characters)の全てを渡り、${𝔣}_{\chi }$ は χ のアルティン導手であり、lcm は最小公倍数である。

さらに一般的な体

導手は、局所体の必ずしもアーベル的ではない有限次ガロア拡大に対しても L/K と同じ方法で定義することができる。しかしながら、導手は「ノルム限定定理」のために、L の中での K の最大アーベル拡大である L^ab/K のみに依存する。ノルム極限定理は、この状況下では、

$N_{L/K}(L^{\times })=N_{L^{\text{ab}}/K}((L^{\text{ab}}{)}^{\times })$

を意味している。

加えて、局所体の場合よりも少し一般的な場合、つまり、テンプレート:仮リンク(quasi-finite)な剰余体を持つ完備付値体の場合は、導手を定義することができる。

アルキメデス的な体

大域的導手のためには、自明な拡大 R/R の導手が 0 であると定義し、拡大 C/R の導手が 1 であると定義する。

大域的導手

代数体

数体のアーベル拡大 L/K の導手は、アルティン写像を使い局所の場合と同様に定義できる。特に θ : I^m → Gal(L/K) を大域的アルティン写像(global Artin map)とする。ここでは、テンプレート:仮リンク(modulus) m は L/K のテンプレート:仮リンク(defining modulus)である。θ が法 $𝔪$ のテンプレート:仮リンク(ray class group) を経由するときに、アルティン相互法則(Artin reciprocity)が m で成り立つという。L/K の導手を $𝔣(L/K)$ と書き、相互法則の成立するモジュラスのすべての共通部分とする。実際、相互法則は、$𝔣(L/K)$ に対し成り立つので、これは最も小さなそのようなモジュラスである

例

• 基礎体を有理数体とすると、クロネッカー・ウェーバーの定理は、代数体 K が Q のアーベル拡大であることと、ある円分体 $𝐐({\zeta }_n)$ の部分体であることが同値であることを言っている。従って、K の導手はそのようなものの中で最も小さな n である。
• d を平方因子のない整数として， L/K を $𝐐(\sqrt{d})/𝐐$ とすると、

$𝔣(𝐐(\sqrt{d})/𝐐)=\{\begin{array}{cc}\left|{\mathrm{\Delta }}_{𝐐(\sqrt{d})}\right|& \text{for }d>0\\ \mathrm{\infty }\left|{\mathrm{\Delta }}_{𝐐(\sqrt{d})}\right|& \text{for }d<0\end{array}$

が成り立つ．ここで ${\mathrm{\Delta }}_{𝐐(\sqrt{d})}$ は $𝐐(\sqrt{d})/𝐐$ のテンプレート:仮リンク(discriminant)である。

局所導手や分岐との関係

大域導手は局所導手の積である。

$𝔣(L/K)=\prod _{𝔭}{𝔭}^{𝔣(L_{𝔭}/K_{𝔭})}.$

結局、有限素点が L/K で分岐していることと、それが $𝔣(L/K)$ を割ることは同値である。 無限素点 v は導手の中にあらわれることと、v が実素点で、L で複素素点となることとが同値である。

参考文献

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