小行列式のソースを表示

[[数学]]の[[線型代数学]]において、[[行列]] {{mvar|A}} の'''小行列式'''（しょうぎょうれつしき、{{lang-en-short|minor, minor determinant}}）とは、{{mvar|A}} から1列以上の行または列を除いて得られる小さい[[正方行列]]の[[行列式]]のことである。

正方行列から行と列をただ1つずつ取り除いて得られる小行列式（'''first minors'''; 第一小行列式）は行列の'''余因子''' (cofactor) を計算するのに必要で、これは正方行列の行列式や[[逆行列]]の計算に有用である。

== 定義と説明 ==
=== {{math|(''i'', ''j'')}} 小行列式 ===
[[正方行列]] {{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}} '''小行列式''' (minor, first minor<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.co.jp/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239&lpg=PA239&dq=first+minor+determinant&source=web&ots=BqWTlFMGIB&sig=aeCdnU1sARW9tshE_zhirJZ5dRU&hl=en&redir_esc=y Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) とは、第 {{mvar|i}} 行と第 {{mvar|j}} 列を除いて得られる[[小行列]]の[[行列式]]のことである。この数はしばしば {{mvar|M{{sub|i,j}}}} と書かれる。{{math|(''i'', ''j'')}}'''余因子''' (cofactor) とは、{{math|(''i'', ''j'')}}小行列式に {{math|(−1){{sup|''i''+''j''}}}} を掛けて得られる値のことである。

例えば、次の 3次正方行列を考える：
:<math>\begin{bmatrix}
1  &4 &7 \\
3  &0 &5 \\
-1 &9 &11
\end{bmatrix}</math>
小行列式 {{math|''M''{{sub|2,3}}}} と余因子 {{math|{{tilde|''a''}}{{sub|2,3}}}} を計算するため、上の行列から第2行と第3列を除いた小行列の行列式を求める。
:<math>M_{2,3} = \begin{vmatrix}
\,\,1  &4    &\Box\, \\
\,\Box &\Box &\Box\, \\
-1     &9    &\Box\,
\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
\,\,\,1 & 4\, \\
-1 & 9\, \\
\end{vmatrix} = (9-(-4)) = 13</math>
したがって {{math|(2, 3)}} 余因子は
:<math>\widetilde{a}_{2,3} = (-1)^{2+3} M_{2,3} = -13</math>

=== 一般の定義 ===
{{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{mvar|A}} に対して、正の整数 {{mvar|k}} が {{math2|''k'' ≤ ''m, n''}} を満たすとき、{{mvar|k}}次'''小行列式''' (''minor determinant of order {{mvar|k}}''){{efn|英語では "minor deternimant" の "determinant" はよく省略され、単に "minor" といった場合は普通（小行列ではなく）小行列式の意味である。<br />小行列は英語では、普通は "''(square) submatrix''" と呼んでいる。}}とは、{{mvar|A}} の {{mvar|m}}個の行から選んだ {{mvar|k}}個の行に属し、{{mvar|n}}個の列から選んだ {{mvar|k}}個の列にも属する成分からなる {{mvar|k}}次小正方行列の行列式のことである。このことは、{{mvar|A}} から {{math|''m'' &minus; ''k''}}個の行と {{math|''n'' &minus; ''k''}} 個の列を除いて得られる {{mvar|k}}次小正方行列の行列式ということもできる。

{{math|''m'' × ''n''}}行列の小行列（式）の作られ方は、全部で <math>\textstyle{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math>個ある。

'''零次の小行列式''' (''Minor of order zero'') はしばしば {{math|1}} と定義される（[[空積]]も参照のこと）。

対照的に、正方行列に対する'''第零小行列式''' (''zeroth minor'') とは、単にその行列の行列式のことを言う<ref name="#1">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1</ref><ref name="#2">Minor. Encyclopedia of Mathematics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176</ref>。

元々の {{mvar|A}} の行・列を具体的に指定して表記するには、{{math2|1 ≤ ''i''{{sub|1}} < ''i''{{sub|2}} < … < ''i{{sub|k}}'' ≤ ''m'', 1 ≤ ''j''{{sub|1}} < ''j''{{sub|2}} < … < ''j{{sub|k}}'' ≤ ''n''}} に対して、それらをそれぞれ {{math2|''I'', ''J''}} と呼ぶことにすると、これらの添え字から得られる小行列式 <math>\det((A_{i_p, j_q})_{p,q=1,\cdots,k})</math> は

<math>{\det}_{I,J}A,\ [A]_{I,J}</math>

などと書かれる（{{math|(''i'')}} は添え字の列 {{mvar|I}} を表す）。注意しないといけないのは、文献・著者によって全く逆の2種類の意味を指すことがあることである。著者<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9</ref>によっては、{{math2|''I'', ''J''}} のどちらにも属している成分から作られる行列の行列式を意味し、著者<ref name="#1"/>によっては、{{math2|''I'', ''J''}} に対応する行・列を除いて得られる行列の行列式を意味する。この記事では前者（{{mvar|I}} の行と {{mvar|J}} の列から元を選ぶ）の方の定義を用いる。例外的な場合は {{math|(''i'', ''j'')}}小行列式の場合である；この場合、取り除く方の表記 <math>M_{i,j} = \det(( A_{p,q})_{p \neq i, q \neq j})</math> がどの文献でも標準的であり、この記事においても用いる。

=== 補小行列式 ===
正方行列 {{mvar|A}} の小行列式 {{mvar|M{{sub|ijk…;pqr…}}}} の補小行列式 {{mvar|B{{sub|ijk…;pqr…}}}} とは、{{mvar|A}} から第{{math|''i'', ''j'', ''k'', …}}行と第{{math|''p'', ''q'', ''r'', …}}列を除いて得られる小行列の行列式のことである。例えば、{{math|(''i'', ''j'')}}小行列式の補小行列式は単に {{math|(''i'', ''j'')}} 成分である<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.co.uk/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135&hl=en ''Methods of Mathematical Physics''], p. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.</ref>。

== 小行列式と余因子の応用 ==
=== 行列式の余因子展開 ===
{{main|余因子展開}}
余因子により、行列式を余因子の[[線形結合]]で表すことができる（[[余因子展開]]）。これにより、行列式は次数が {{math|1}} 小さい行列式から計算できる。任意の {{mvar|n}}次正方行列 {{math2|''A'' {{=}} (''a{{sub|ij}}'')}} の行列式 {{math|det(''A'')}} は、行列の任意の行か列の余因子にそこの成分を掛けたものの[[総和]]に等しくなる。つまり、第{{mvar|j}}列に沿った余因子展開は
:<math>\det(A) = a_{1j}\widetilde{a}_{1j} + a_{2j}\widetilde{a}_{2j} + \cdots + a_{nj}\widetilde{a}_{nj} = \textstyle\sum\limits_{i=1}^n a_{ij} \widetilde{a}_{ij}</math>
であり、第{{mvar|i}}行に沿った余因子展開は
:<math>\det(A) = a_{i1}\widetilde{a}_{i1} + a_{i2}\widetilde{a}_{i2} + \cdots + a_{in}\widetilde{a}_{in} = \textstyle\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} \widetilde{a}_{ij}</math>
である。

=== 余因子行列と逆行列 ===
{{main|正則行列|余因子行列}}
余因子により、正則行列の逆行列の成分を書き下すことができる。正方行列 {{mvar|A}} の全ての余因子を成分とする正方行列の[[転置行列]]は'''[[余因子行列]]''' (adjungate matrix) あるいは'''古典随伴行列''' (classicical adjoint matrix) と呼ばれ、{{math|{{Tilde|''A''}}}} や {{math|adj ''A''}} で表す：
:<math>\widetilde{A} = \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix}
\widetilde{a}_{11} &\widetilde{a}_{21} &\cdots &\widetilde{a}_{n1} \\
\widetilde{a}_{12} &\widetilde{a}_{22} &\cdots &\widetilde{a}_{n2} \\
\vdots             &\vdots             &\ddots &\vdots \\ 
\widetilde{a}_{1n} &\widetilde{a}_{2n} &\cdots &\widetilde{a}_{nn}
\end{bmatrix}</math>
{{mvar|A}} の余因子展開より、次の式が成り立つ：
:<math>A\widetilde{A} = \widetilde{A}A = (\det (A))I</math>
特に、{{math|det(''A'') ≠ 0}}, つまり {{mvar|A}} が正則のとき、{{mvar|A}} の逆行列は余因子行列に {{mvar|A}} の行列式の逆数を掛けたものである：
:<math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \widetilde{A}</math>
上の公式は次のように一般化できる：

{{mvar|n}}次正方行列に対して、{{math2|''k'' (≤ ''n'')}} 個ずつの添え字集合（小さい順とする）を
:{{math2|1=''I'' = {{mset|''i''{{sub|1}}, ''i''{{sub|2}}, …, ''i{{sub|k}}''}}}} &nbsp;ただし {{math2|1 ≤ ''i''{{sub|1}} < ''i''{{sub|2}} < … < ''i{{sub|k}}'' ≤ ''n''}}
:{{math2|1=''J'' = {{mset|''j''{{sub|1}}, ''j''{{sub|2}}, …, ''j{{sub|k}}''}}}} &nbsp;ただし {{math2|1 ≤ ''j''{{sub|1}} < ''j''{{sub|2}} < … < ''j{{sub|k}}'' ≤ ''n''}}
とすると
:<math>[A^{-1}]_{I,J} = \frac{(-1)^{\sum\limits_{s=1}^k i_s + \sum\limits_{s=1}^k j_s}}{\det A} [A]_{J',I'}</math>
ここで、{{math2|''I''&prime;, ''J''&prime;}} はそれぞれ {{math2|''I'', ''J''}} の全体集合 {{math2|{{mset|1, 2, …, ''n''}}}} における補集合を表す。

また、<math>[A]_{I,J}</math> は、{{mvar|A}} の小行列で行の添え字が {{mvar|I}} で列の添え字が {{mvar|J}} であるものの行列式を表す。つまり、<math>[A]_{I,J} = \det(A_{i_p,j_q})_{p,q=1,\cdots,k}</math> である。

単純な証明は[[ウェッジ積]]を用いて与えることができる。実際、
:<math>[A^{-1}]_{I,J} (e_1\wedge\cdots \wedge e_n) = \pm ( A^{-1}e_{j_1}) \wedge \cdots \wedge (A^{-1}e_{j_k}) \wedge e_{i'_1} \wedge \cdots \wedge e_{i'_{n-k}}</math>
である。ただし <math>e_1,\cdots,e_n</math> は基底ベクトルである。{{mvar|A}} を両辺に作用させると
:<math>\begin{align}
{}[ A^{-1} ]_{I,J} \det A (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) &= \pm (e_{j_1}) \wedge \cdots \wedge (e_{j_k}) \wedge (A e_{i'_1}) \wedge \cdots \wedge (A e_{i'_{n-k}}) \\
 &=\pm [A]_{J',I'}(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n)
\end{align}</math>
符号は <math>(-1)^{\sum\limits_{s=1}^k i_s + \sum\limits_{s=1}^k j_s}</math> であることが計算できる。（証明終）

=== 他の応用 ===
[[可換体|体]]（例えば、[[実数]]体、[[複素数]]体）の元を成分とする {{math|''m'' × ''n''}}行列に対して、{{math|0}} でない小行列式の最大次数は[[行列の階数]] {{mvar|r}} に等しい（つまり、{{math|0}} でない {{mvar|r}}次小行列式が少なくとも1つ存在し、それより大きい次数の小行列式は全て {{math|0}} である）。

記号 {{math|[''A'']{{sub|''I'',''J''}}}} は上の通りとする．
* {{math2|''I'' {{=}} ''J''}} のとき、{{math|[''A'']{{sub|''I'',''J''}}}} は'''主小行列式''' (principal minor) と呼ばれる。
* 主小行列式に対応する行列がもとの行列の左上の正方形の部分である（すなわち行・列の番号がそれぞれ {{math2|{{mset|1, …, ''k''}}}}）とき、主小行列式は'''首座小行列式''' (leading principal minor (of order k), corner (principal) minor (of order k)) と呼ばれる<ref name="#2"/>。{{math|''n'' }}次正方行列に対しては、{{math|''n'' }} 個の首座小行列式が存在する。
*行列の'''基本小行列式'''とは、{{math|0}} でない小行列式で次数が最大のもののことである<ref name="#2"/>。
*[[エルミート行列]]に対して、首座小行列式は[[正定値行列|正定値性]]の判定に使うことができ、主小行列式は半正定値性の判定に使うことができる。詳細は{{仮リンク|シルヴェスターの判定法|en|Sylvester's criterion}}を参照。

[[コーシー・ビネの公式]]は、{{math|''m'' × ''n''}}行列と {{math|''n'' × ''m''}} 行列の積の行列式について成り立つ等式であるが、これを次の一般的な主張に拡張することができる：

{{math|''m'' × ''n''}}行列 {{mvar|A}}，{{math|''n'' × ''l''}} 行列 {{mvar|B}} に対して、{{mvar|I}} を {{mvar|k}}個の元からなる {{math|{{mset|1, …, ''m''}}}} の[[部分集合]]とし、{{mvar|J}} を {{mvar|k}} 個の元からなる {{math|{{mset|1, …, ''l''}}}} の部分集合とする。このとき
:<math>[AB]_{I,J} = \textstyle\sum\limits_K [A]_{I,K} [B]_{K,J}</math>
が成り立つ。ただし、総和の添え字 {{mvar|K}} は {{mvar|k}} 個の元を持つ {{math|{{mset|1, …, ''n''}}}} の部分集合全体を走る。この公式はコーシー・ビネの公式の直截的拡張である．

== 多重線型代数アプローチ ==
よりシステマティックには、小行列式の概念の代数学的な扱いは[[ウェッジ積]]を用いて[[多重線型代数]]において与えられる：行列の {{mvar|k}}次小行列式は {{mvar|k}}次[[外冪]]写像の成分である。

行列の列が一度に {{mvar|k}}回一緒にウェッジされると、{{mvar|k}}次小行列式は得られる {{mvar|k}}次元ベクトルの成分として現れる。例えば、行列
:<math>\begin{bmatrix}
1 &4 \\
3 &\!\!-1 \\
2 &1 \\
\end{bmatrix}</math>
の {{math|2}}次小行列式は {{math|&minus;13}}（最初の2行から）、{{math|&minus;7}}（最初と最後の行から）、{{math|5}}（最後の2行から）である。さてウェッジ積
:<math>(\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2 + 2\boldsymbol{e}_3) \wedge (4\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2 + \boldsymbol{e}_3)</math>
を考えよう。ただし2つの式は我々の行列の2つの行に対応する。ウェッジ積の性質を用いて、すなわち[[双線型写像|双線型性]]と
:<math>\boldsymbol{e}_i \wedge \boldsymbol{e}_i = 0</math>
と
:<math>\boldsymbol{e}_i \wedge \boldsymbol{e}_j = - \boldsymbol{e}_j \wedge \boldsymbol{e}_i</math>
を用いて、この数式は
:<math>-13\boldsymbol{e}_1 \wedge \boldsymbol{e}_2 - 7\boldsymbol{e}_1 \wedge \boldsymbol{e}_3 + 5\boldsymbol{e}_2 \wedge \boldsymbol{e}_3</math>となる。ここで係数は先に計算した小行列式と一致する。

== 異なる表記についての注意 ==
文献や著者によっては、余因子行列 (adjugate matrix) の代わりに "cofactor matrix" が使われている。この表記では、逆行列は次のように書かれる：
:<math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}
\widetilde{a}_{11} &\widetilde{a}_{12} &\cdots &\widetilde{a}_{1n} \\
\widetilde{a}_{21} &\widetilde{a}_{22} &\cdots &\widetilde{a}_{2n} \\
\vdots             &\vdots             &\ddots &\vdots \\ 
\widetilde{a}_{n1} &\widetilde{a}_{n2} &\cdots &\widetilde{a}_{nn}
\end{bmatrix}^\mathsf{T}</math>

== 注釈 ==
{{Reflist|group="注釈"}}
== 参照 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[小行列]]
* [[行列の階数]]

== 外部リンク ==
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-19-determinant-formulas-and-cofactors/ MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* [https://web.archive.org/web/20120408004640/http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath entry of ''Cofactors'']
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minor Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor'']

{{線形代数}}

{{DEFAULTSORT:しようきようれつしき}}
[[Category:行列]]
[[Category:行列式]]
[[Category:数学に関する記事]]