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'''巡回畳み込み'''（じゅんかいたたみこみ、{{Lang-en|''circular convolution''}}）あるいは'''循環畳み込み'''（じゅんかんたたみこみ、{{Lang-en|''cyclic convolution''}}）とは、二つの非周期関数に対し、一方の{{仮リンク|周期和|en|periodic summation}}を用いて、もう一方を通常の方法で[[畳み込み|畳み込む]]ことを意味する。このような状況は[[離散フーリエ変換#畳み込み定理と相互相関定理|巡回畳み込み定理]]の文脈において現れる。もし無限の積分区間が、ちょうど一周期分へと減らされた場合には、両方の関数の周期和として、同様の畳み込み作用を表現することが出来る。このような状況は[[離散時間フーリエ変換]]の文脈において現れ、'''周期畳み込み'''とも呼ばれる。特に、二つの離散シーケンスの積に対する離散時間フーリエ変換は、各シーケンスに対するその変換の周期畳み込みである<ref>もし連続関数 ''x''(''t'') のサンプルからなるシーケンス ''x''[''n''] のフーリエ変換が ''X''(ƒ) であるなら、その離散時間フーリエ変換は ''X''(ƒ) の周期和となる（[[離散時間フーリエ変換]]を参照されたい）。</ref>。

周期 ''T'' の[[周期関数]] ''x''<sub>''T''</sub>　と、他の関数 ''h'' との[[畳み込み]]はふたたび周期関数となり、次のような形で、有限区間の積分として表現される:

:<math>
\begin{align}
(x_T * h)(t)\quad &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau.
\end{align}
</math><ref>証明''':'''

:<math>\int_{-\infty}^\infty  h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau</math> 
:::<math>
\begin{align}
&= \sum_{k=-\infty}^\infty  \left[\int_{t_o+kT}^{t_o+(k+1)T} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau\right] \\
&\stackrel{\tau \rightarrow \tau+kT}{=}\  \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{t_o}^{t_o+T} h(\tau+kT)\cdot x_T(t - \tau -kT)\ d\tau\right] \\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau+kT)\cdot \underbrace{x_T(t - \tau-kT)}_{x_T(t - \tau), \text{by periodicity}}\right]\ d\tau\\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \underbrace{\left[\sum_{k=-\infty}^\infty  h(\tau+kT)\right]}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ h_T(\tau)}\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau \quad \quad \scriptstyle{(QED)}
\end{align}
</math>
</ref>

ここで ''t''<sub>o</sub> は任意のパラメータであり、''h''<sub>''T''</sub> は ''h'' の周期和で、それは次のように定義される:

:<math>h_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^\infty  h(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^\infty  h(t + kT).</math>

この演算は関数 ''x''<sub>''T''</sub> と ''h''<sub>''T''</sub> の'''周期畳み込み'''である。もし ''x''<sub>''T''</sub> が他の関数 ''x'' の周期和であるなら、同様の演算は関数 ''x'' と ''h'' の'''巡回畳み込み'''と呼ばれる。

==離散シーケンス==
同様に、周期 '''N''' の離散シーケンスに対して、関数 ''h'' と ''x'' の'''巡回畳み込み'''を次のように書くことが出来る:

:<math>
\begin{align}
(x_N * h)[n] \ &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{m=-\infty}^\infty  h[m] \cdot x_N[n-m] \\
&= \sum_{m=-\infty}^\infty  \left( h[m] \cdot \sum_{k=-\infty}^\infty  x[n -m -kN] \right).
\end{align}
</math>

これは[[行列の乗法]]に対応し、その積分変換の核は[[巡回行列]]である。

==関連項目==
*[[ヒルベルト変換|離散ヒルベルト変換]]
*[[巡回行列]]

==注釈==
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{Cite book
 | author=Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard
 | authorlink=
 | coauthors=
 | title=Theory and application of digital signal processing
 | date=1975
 | publisher=Prentice-Hall
 | location=Englewood Cliffs, N.J. 
 | isbn=0-13-914101-4
 | pages=63–67
}}
*{{Cite book 
 | author=Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. 
 | authorlink= 
 | coauthors= 
 | title=Discrete-time signal processing 
 | date=1999 
 | publisher=Prentice Hall 
 | location=Upper Saddle River, N.J.  
 | isbn=0-13-754920-2 
 | pages=
}}

{{DEFAULTSORT:しゆんかいたたみこみ}}
{{Math-stub}}

[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]