巡回畳み込み

巡回畳み込み（じゅんかいたたみこみ、テンプレート:Lang-en）あるいは循環畳み込み（じゅんかんたたみこみ、テンプレート:Lang-en）とは、二つの非周期関数に対し、一方のテンプレート:仮リンクを用いて、もう一方を通常の方法で畳み込むことを意味する。このような状況は巡回畳み込み定理の文脈において現れる。もし無限の積分区間が、ちょうど一周期分へと減らされた場合には、両方の関数の周期和として、同様の畳み込み作用を表現することが出来る。このような状況は離散時間フーリエ変換の文脈において現れ、周期畳み込みとも呼ばれる。特に、二つの離散シーケンスの積に対する離散時間フーリエ変換は、各シーケンスに対するその変換の周期畳み込みである。

周期 T の周期関数 x_T　と、他の関数 h との畳み込みはふたたび周期関数となり、次のような形で、有限区間の積分として表現される:

$\begin{array}{cc}(x_T*h)(t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(\tau )\cdot x_T(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{t_o}{\overset{t_o+T}{\int }}{h}_T(\tau )\cdot x_T(t-\tau )d\tau .\end{array}$

ここで t_o は任意のパラメータであり、h_T は h の周期和で、それは次のように定義される:

$h_T(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(t-kT)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(t+kT).$

この演算は関数 x_T と h_T の周期畳み込みである。もし x_T が他の関数 x の周期和であるなら、同様の演算は関数 x と h の巡回畳み込みと呼ばれる。

離散シーケンス

同様に、周期 N の離散シーケンスに対して、関数 h と x の巡回畳み込みを次のように書くことが出来る:

$\begin{array}{cc}(x_N*h)[n]& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[m]\cdot x_N[n-m]\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(h[m]\cdot \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-m-kN]).\end{array}$

これは行列の乗法に対応し、その積分変換の核は巡回行列である。

関連項目

• 離散ヒルベルト変換
• 巡回行列

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

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