差分多項式のソースを表示

[[数学]]の[[複素解析]]の分野における'''一般差分多項式列'''（いっぱんさぶんたこうしきれつ、{{Lang-en-short|general difference polynomials}}）とは、[[シェファー列|シェファー多項式列]]のある特別な部分クラスに属する[[多項式列]]であり、[[ニュートン補間|ニュートン多項式列]]、'''セルバーグ多項式列''' ({{en|Selberg's polynomials}}) および'''スターリング補間多項式列''' ({{en|Stirling interpolation polynomials}}) を特殊な場合として含むものである。

== 定義 ==
適当な定数 {{mvar|&beta;}} に対して、一般差分多項式列は
: <math>p_n(z)=\frac{z}{n} {{z-\beta n -1} \choose {n-1}}</math>
で与えられる。ここで <math>\textstyle {z \choose n}</math> は[[二項係数]]である。

* {{math|β {{=}} 0}} のとき、生成される {{math|''p''{{msub|''n''}}(''z'')}} は、ニュートン多項式列
*: <math>p_n(z)= {z \choose n} = \frac{z(z-1)\cdots(z-n+1)}{n!}</math>
: である。
* {{math|β {{=}} 1}} のとき、セルバーグ多項式列が生成される。
* {{math|β {{=}} {{fraction|&minus;1|2}}}} のとき、スターリング補間多項式列が生成される。

== 移動差分 ==

[[解析関数]] <math>f(z)</math> に対し、その'''移動差分''' ({{en|moving difference}}) を

:<math>\mathcal{L}_n(f) = \Delta^n f (\beta n)</math>

で定める。ここで <math>\Delta</math> は[[前進差分作用素]]である。このとき、''f'' がある特別な総和可能性 ({{en|summability}}) についての条件を満たすなら、それは次のような多項式表現を許す。

:<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty p_n(z) \mathcal{L}_n(f).</math>

この列の総和可能性（すなわち、収束）に関する条件は、複雑な問題である。一般に、その必要条件は解析関数が{{仮リンク|指数型|en|exponential type}}よりも小さいことであるとされる。総和可能性の条件については、{{harvtxt|Boas|Buck|1964}} において詳細に議論されている。

== 母関数 ==

一般差分多項式に対する[[母関数]]は、次で与えられる。

:<math>e^{zt}=\sum_{n=0}^\infty p_n(z) 
\left[\left(e^t-1\right)e^{\beta t}\right]^n.</math>

この母関数には、次のような[[一般化アペル多項式|一般化アペル表現]]が存在する。

:<math>K(z,w) = A(w)\Psi(zg(w)) = \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n.</math>

ここで <math>A(w)=1</math>、<math>\Psi(x)=e^x</math>、<math>g(w)=t</math> および <math>w=(e^t-1)e^{\beta t}</math> とされる。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|カールソンの定理|en|Carlson's theorem}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, ''Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected)'', (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.

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