差分多項式

数学の複素解析の分野における一般差分多項式列（いっぱんさぶんたこうしきれつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、シェファー多項式列のある特別な部分クラスに属する多項式列であり、ニュートン多項式列、セルバーグ多項式列 (テンプレート:En) およびスターリング補間多項式列 (テンプレート:En) を特殊な場合として含むものである。

定義

適当な定数テンプレート:Mvar に対して、一般差分多項式列は

p_{n} (z) = \frac{z}{n} (\binom{z - β n - 1}{n - 1})

で与えられる。ここで $(\binom{z}{n})$ は二項係数である。

テンプレート:Math のとき、生成されるテンプレート:Math は、ニュートン多項式列
$p_{n} (z) = (\binom{z}{n}) = \frac{z (z - 1) \dots (z - n + 1)}{n!}$

である。

解析関数 $f (z)$ に対し、その移動差分 (テンプレート:En) を

ℒ_{n} (f) = Δ^{n} f (β n)

で定める。ここで $Δ$ は前進差分作用素である。このとき、f がある特別な総和可能性 (テンプレート:En) についての条件を満たすなら、それは次のような多項式表現を許す。

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} (z) ℒ_{n} (f) .

この列の総和可能性（すなわち、収束）に関する条件は、複雑な問題である。一般に、その必要条件は解析関数がテンプレート:仮リンクよりも小さいことであるとされる。総和可能性の条件については、テンプレート:Harvtxt において詳細に議論されている。

一般差分多項式に対する母関数は、次で与えられる。

e^{z t} = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} (z) {[(e^{t} - 1) e^{β t}]}^{n} .

この母関数には、次のような一般化アペル表現が存在する。

K (z, w) = A (w) Ψ (z g (w)) = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} (z) w^{n} .

ここで $A (w) = 1$ 、 $Ψ (x) = e^{x}$ 、 $g (w) = t$ および $w = (e^{t} - 1) e^{β t}$ とされる。

Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.